2.5.2. Системи рекурентних послідовностей

Нехай – довільний універсум елементів, – певні часткові операції на , які будемо називати конструкторами рекурентних послідовностей. Система послідовностей

називається рекурентною відносно конструкторів , якщо всі її члени, за винятком, можливо, перших, пов’язані співвідношеннями

(*) , , ..., .

Кількість послідовностей у системі називається її виміром, а самі послідовності – рекурентними. Ми будемо розглядати тільки рекурентні системи певного фіксованого скінченного виміру. Щоб повністю визначити таку систему, достатньо задати нульові члени і конструктори. Решта членів знаходиться за допомогою конструкторів. Дійсно, , тощо.

Іноді зручно нумерувати члени рекурентних послідовностей, розпочинаючи з 1. Члени рекурентних послідовностей можуть залежати від членів не всіх сусідніх послідовностей, а тільки деяких, тому на практиці конструктори можуть мати (і зазвичай мають!) різну арність. У деяких випадках у системі співвідношень (*) наступні члени послідовностей можуть обчислюватись не тільки за попередніми, а й за поточними членами сусідніх послідовностей, а також за своїм індексом. В останньому випадку це означає, що в системі неявно присутній лічильник (див. Прикл.2.24).

Розглянемо кілька відомих прикладів рекурентних послідовностей.

Приклад 2.24. Рекурентні послідовності:

1) Послідовність-константа: (*) .

Конструктор – тотожна операція

2) Арифметична прогресія з різницею d:

(*) , .

Конструктор – операція .

_{3) Лічильник : арифметична прогресія з початковим членом 0 або 1 та різницею 1. Значення лічильника на к-му кроці збігається з к.}

4) Геометрична прогресія зі знаменником :

(*) ,

Конструктор – операція .

_{5) Гармонічні числа:}

, , задаються системою рекурентних співвідношень (*)

Конструктором першої послідовності є операція . За означенням , тощо. ■

2.5.3. Рекурентні функції

З кожною рекурентною системою послідовностей (*) виміру пов’язана певна функція типу , яка вектору початкових членів і числу ставить у відповідність вектор з і-х членів даних послідовностей:

, де .

Щоб знайти значення функції для довільного , достатньо послідовно побудувати всі попередні значення , .

Зазвичай для фіксованого початкового вектора цікавлять не всі значення функції – члени послідовності , , а тільки виділені, а найчастіше – лише одне. Щоб відокремити потрібне значення, або прямо задають його конкретний номер, або його виділяють неявно за допомогою умови-фільтру типу . Щоб такий вибір був однозначним, обмежуються, наприклад, першим з , що задовольняє або порушує фільтр. Якщо всі порушують (задовольняють) , то результат вибору конкретного значення на даному вході буде невизначений. Далі вважається, що вибирається перше з , на якому порушується умова. Будемо позначати нову функцію і називати рекурентною функцією, породженою системою (*) і фільтром . Вона є частковою й має тип . Композицію, визначену на конструкторах системи (*) і фільтрі , результатом якої є функція , назвемо - -оператором.

На практиці можуть варіюватися початкові значення тільки окремих з аргументів рекурентної функції, а решта відіграють роль параметрів – вони або просто фіксуються, або відразу обчислюються за допомогою конструкторів. Перші називаються вхідними параметрами, або входами, рекурентної функції. Цікавими з погляду результатів можуть бути не всі компоненти в значенні рекурентної функції, а тільки окремі з них – вихідні. Послідовності, які відповідають вихідним компонентам, називаються опорними в рекурентній системі. Послідовності, що не належать ні до вхідних, ні до опорних, називаються проміжними, або робочими. Нехай та – кількість відповідно вхідних і опорних послідовностей. Рекурентні функції із виділеними сукупностями вхідних і опорних послідовностей називаються параметризованими.

Наведемо кілька прикладів параметризованих рекурентних функцій.

Приклад 2.25. -й член арифметичної прогресії.

Нехай – арифметична прогресія з певною фіксованою різницею і початковим членом . Позначимо – -й член арифметичної прогресії. Розглянемо систему (*) із трьох рекурентних послідовностей: арифметичної прогресії , послідовності-константи і лічильника з початковим значенням 1. Візьмемо за фільтр умову , за вхідні послідовності – та прогресію , за опорну – прогресію . Тоді збігається зі значенням . Коректність такого подання випливає з того, що лічильник з початковим значенням 1 стає перший раз хибним саме на -му кроці, тобто при ■

Приклад 2.26. Гармонічна функція.

Гармонічна функція задає -те гармонічне число і є рекурентною функцією , породженою фільтром і системою рекурентних співвідношень (*):

Вхідною послідовністю є , а вихідною – ■

Нехай певне фіксоване натуральне число. Послідовності

називаються -рекурентними відносно конструкторів , якщо всі їхні члени для пов’язані співвідношеннями

(**) , ,

… .

Щоб повністю задати таку систему послідовностей, достатньо задати перші членів кожної послідовності . Решта знаходиться за допомогою конструкторів. Наприклад, для 2-рекурентної послідовності , тощо. -рекурентні послідовності можуть індексуватися і з 0. Відомий приклад 2-рекурентної послідовності – числа Фібоначчі ■

Приклад 2.27. Числа Фібоначчі:

за означенням, , . Тоді , , і так далі. ■

Для -рекурентних послідовностей теж вводиться поняття -рекурентної функції та -оператора. Конструкція аналогічна вищенаведеній, -рекурентна функція має тип .

Теорема 2.1 (про обчислення -рекурентних функцій). Параметризовані -рекурентні функції, і тільки вони, обчислюються детермінованими стандартними програмами.

Доведення. Ми обмежимося доведенням тільки для випадку непараметризованих функцій та програм. Доведення у загальному випадку суттєво не зміниться (див. Вправу 8.) Нехай на універсумі задано довільну непараметризована -рекурентну систему (*) виміру і фільтр . Покажемо, як за допомогою стандартної програми обчислити -рекурентну функцію .

Розглянемо спочатку для простоти випадок . Для кожної з рекурентних послідовностей введемо змінну типу та її дублікат. Нехай {x,xx,…,z,zz} – сукупність усіх таких змінних, де xx,…,zz – дублікати відповідних змінних. Тоді потрібна стандартна програма Prog має вигляд:

/*Вх: x,…,z; Вих: x,…,z*/

{x:= ;… z:= ;

while (Q(x,...,z)) do

{ /* обчислення нових значень змінних */

xx:=f(x,...,z);

…

zz:=g (x,..,z);

/* оновлення змінних */

x:=xx;

…

z:=zz;

}

}

Присвоювання перед циклом початкових значень змінним називається їх ініціалізацією. Чергові нові члени рекурентних послідовностей спочатку зберігаються в дублікатах xx,…,zz і тільки після цього пересилаються в змінні x,…,z. Якщо відразу їх записати в змінні, то будуть втрачені попередні значення, від яких може залежати обчислення нових значень в сусідніх послідовностях. Позначимо векторний аналог програми Prog. У нашому випадку тип збігається з . Покажемо, що для будь-якого набору початкових значень із . Нехай . Це означає, що існують таке і такі послідовності значень змінної x і так далі змінної z, що

(i) ; (ii) .

За побудовою для всіх значення вектора збігається зі значенням функції , породженої даною системою рекурентних співвідношень. Однак з умов (і) та (іі) випливає: є найменшим індексом таким, що , тобто , що й треба було довести.

Аналогічно будується стандартна програма Prog для -рекурентних функцій. Тільки в цьому разі необхідно зберігати останніх членів кожної з -рекурентних послідовностей. Для цього необхідно ввести змінних, а також, як і вище, ще змінних для обчислення нових членів послідовностей. У тілі циклу після визначення нових членів необхідно поновити значення всіх змінних (див. прикл. 10.9.)

Нехай тепер маємо певну стандартну непараметризовану детерміновану програму Prog.

Покажемо: якщо її складові обчислюють рекурентні функції, то й вона робить те саме. Знову припустимо, що . Для доведення буде аналогічним. Нехай складовими програми Prog є програми Prog ,…, Prog з однаковими сукупностями змінних такі, що , для певних рекурентних систем

( ) , , ...,

і фільтрів . Потрібно за ними побудувати рекурентну систему (*) , , ..., і визначити фільтр так, щоб .

1) Нехай програма Prog є складеною . Визначимо додаткову рекурентну послідовність: , , , для контролю за перебуванням обчислення в просторі систем ( ) та ( ), а саме: означає, що виконується Prog , у протилежному випадку – Prog . Система (*) складається з послідовності і послідовностей системи ( ) та ( ), об’єднаних в одну рекурентну систему такими умовними конструкторами:

,

,

…

.

Візьмемо за фільтр . За побудовою система (*) та фільтр є шуканими.

2) Нехай програма Prog є розгалуженням Prog else Prog . Введемо додаткову контролюючу послідовність , де – векторний аналог умови С, , , смисл якої той самий, що й у п. 1). Відмінність полягає в тому, тут є константою. Рекурентною системою (*) для програми Prog теж буде об’єднання відповідних систем ( ) та ( ) з долученою послідовністю . Конструктори при цьому отримують охорону: в системі ( ) і в системі ( ) і стають умовними, а фільтром буде формула .

3) Аналогічно будується рекурентна система послідовностей для випадку, коли програма Prog є обходом (частковий випадок розгалуження) і вибором програм. Зазначимо, що охорони у виборі попарно не перетинаються (умова детермінованості Prog). Тоді, як і в 2), для кожної з альтернатив в систему (*) вводиться своя контролююча послідовність , , конструктори мають відповідну охорону, а фільтр – це диз’юнкція всіх формул вигляду , , що відповідають конролюючим послідовностям і фільтрам складових програми Prog.

4) Нехай тепер програма Prog є ітерацією while (С) do Prog . Система (*) буде збігатися з такою для випадку обходу, а фільтр – це формула , де – векторний аналог умови С.

5) Випадок, коли програма Prog є повторенням вигляду do Prog while (Q), зводиться до вже розглянутих, оскільки така програма збігається з програмою {Prog while (Q) do Prog } . ■

Увага! Рекурентні співвідношення (*) та (**) у визначенні рекурентних і -рекурентних послідовностей задають тільки загальний вигляд взаємозв’язку між такими послідовностями. У багатьох випадках цей зв'язок виявляється досить простим. Зокрема, члени рекурентних послідовностей зазвичай залежать не від усіх, а тільки від окремих сусідів. Це дозволяє в програмах для рекурентних функцій шляхом підбору порядку оновлення змінних уникнути дублювання нових членів (усіх чи частини), а отже, і введення змінних-дублікатів (див. прикл. 2.28-2.33). Якщо ж член рекурентної послідовності не залежить від своїх попередників, то немає потреби задавати початковий член для даної послідовності.