§3. Векторний добуток двох векторів

1. Означення. Впорядкова трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого видно проти годинникової стрілки. У супротивному трійка називається лівою.

Нехай , - два ненульових вектори, які утворюють кут між собою. Векторним добутком векторів та називається вектор , для якого справджуються такі умови:

1) вектор перпендикулярний як до вектора , так і до вектора ;

2) впорядкова трійка векторів , , є правою трійкою;

3) .

Якщо , або , то векторний добуток векторів та дорівнює нулеві за означенням.

Векторний добуток позначається , або .

Домовимось надалі позначати символом паралелограм, побудований на векторах , як на сторонах, а площу цього паралелограма будемо позначати символом .

Відзначимо, що модуль векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма :

.

Безпосередньо з означення векторного добутку випливає, що , , .

2. Властивості векторного добутку. Сформулюємо і доведемо основні властивості векторного добутку.

1⁰. Векторний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулеві тоді і лише тоді, коли вектори колінеарні.

Справді, якщо вектори та колінеарні, то , або . В обидвох випадках . Звідси, .

Нехай тепер . За означенням модуля векторного добутку, . Оскільки , , то , тобто вектори та колінеарні.

2⁰. Векторне множення антикомутативне:

.

Якщо , або , або , то рівність справджується очевидним чином.

Нехай тепер та – ненульові неколінеарні вектори. Для доведення властивості досить показати, що вектори та рівні за модулем, колінеарні та протилежно напрямлені.

Рівність модулів випливає з означення модуля векторного добутку:

.

Покажемо, що вектори та колінеарні. Справді, обидва вектори та перпендикулярні як до вектора , так і до вектора , отже, вони перпендикулярні до площини , яка проходить через вектори та . Звідси, та паралельні до будь-якої прямої, перпендикулярної до площини , тобто .

Покажемо тепер, що вектори та протилежно напрямлені. Для цього зауважимо, що обидві трійки векторів , , та , , , згідно з означенням векторного добутку, повинні бути правими. З рисунка видно, що це можливо лише тоді, коли вектори та протилежно напрямлені.

3⁰. Векторне множення дистрибутивне:

.

Для доведення властивості нам буде потрібна допоміжна лема.

Лема. Щоб знайти векторний добуток , необхідно:

1) спроектувати перший співмножник на площину, перпендикулярну до другого співмножника ;

2) отриманий вектор повернути в цій площині на прямий кут так, щоб цей поворот з кінця другого співмножника було видно за годинниковою стрілкою;

3) отриманий вектор помножити на ; результат множення – вектор – збігається з векторним добутком .

Доведення. Вектори і збігаються за довжиною:

.

Вектор перпендикулярний до площини паралелограма за побудовою, отже, перпендикулярний як до вектора , так і до вектора . Крім того, вектори , , утворюють праву трійку за побудовою. Отже, для вектора справджуються всі три умови для векторного добутку , тому . Лему доведено.

Доведемо тепер властивість. Через початок вектора проведемо площину , перпендикулярну до вектора , і спроектуємо трикутник , утворений векторами , , , на площину . Отриманий трикутник повернемо в площині на прямий кут за годинниковою стрілкою; при цьому трикутник перейде в трикутник . В площині здійснимо розтяг у разів відносно точки . Тоді трикутник перейде у трикутник , подібний до трикутника . Згідно з лемою,

, , .

Зважаючи на те, що , дістаємо

.

Наслідок. .

Справді, застосовуючи до векторного добутку послідовно властивості 2⁰, 3⁰, 2⁰, дістанемо

.

4⁰. Постійний множник можна виносити за знак векторного добутку:

.

Покажемо спочатку, що вектори в обох частинах рівності мають однакову довжину:

.

Тепер покажемо, що їх напрями збігаються. Якщо , то вектори та співнапрямлені, тому і також співнапрямлені, а отже, і вектори та співнапрямлені. Якщо ж , то та протилежно напрямлені, тому протилежно напрямлені і вектори та , але вектори і співнапрямлені.

5⁰. Якщо , , то векторний добуток можна обчислити як визначник третього порядку:

.

Справді, використовуючи вже доведені властивості, дістаємо:

.