§2. Скалярний добуток двох векторів.

1. Означення. Скалярним добутком двох векторів називається добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярний добуток векторів та позначається одним зі символів , так що

.

Якщо , або , то за означенням.

2. Властивості скалярного добутку. Сформулюємо і доведемо основні властивості скалярного добутку.

. Скалярне множення комутативне:

.

Властивість випливає з означення скалярного добутку.

. .

Рівність отримується з означень скалярного добутку та проекції вектора на вісь:

.

. Постійний множник можна виносити за знак скалярного добутку:

.

Справді, за властивістю ,

.

Оскільки, на підставі властивості ,

,

то

.

Звідси, використавши рівність (3), дістаємо

.

. Скалярне множення дистрибутивне:

.

Виберемо вектор за вісь , запишемо рівність (2) для векторів , і помножимо обидві частини рівності на :

.

Звідси, на підставі властивості 2⁰,

.

5⁰. Два ненульових вектори , перпендикулярні тоді і лише тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулеві.

Властивість випливає з означення скалярного добутку. Зокрема, .

Скалярний добуток позначають і називають скалярним квадратом вектора .

6⁰. .

Рівність випливає з означення скалярного добутку. Зокрема, .

7⁰. Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат цих векторів, тобто якщо , , то .

Перемножимо відповідні лінійні комбінації і врахуємо, що , :

8⁰. Якщо , то

.

Справді, використовуючи властивості 6⁰, 7⁰, дістанемо

.

Нехай вектор утворює кути , , з базисними векторами , , відповідно. Тоді , , називаються напрямними косинусами вектора .

9⁰. Якщо , , - напрямні косинуси деякого вектора, то

.

Нехай , , - напрямні косинуси вектора . На підставі властивості 7⁰

Звідси, за означенням скалярного добутку,

(5)

.

Піднесемо обидві частини кожної з рівностей (5) до квадрата і результати додамо:

.

Звідси, враховуючи властивість 8⁰,

.

10⁰. Вектор має одиничну довжину тоді і лише тоді, коли його координатами в базисі , , є його напрямні косинуси.

Справді, якщо вектор має одиничну довжину, , то з рівностей (5) маємо , , .

Навпаки, якщо , , , то за властивістю 9⁰ дістаємо, що .

Зазначимо, що вектор одиничної довжини іноді називають ортом.