§ 4. Обернені матриці.

1. Вироджені і невироджені матриці. Квадратна матриця називається виродженою, якщо її визначник дорівнює нулеві, і невиродженою – у супротивному випадку. З теореми про визначник добутку матриць випливає, що добуток матриць, в якому хоч би один зі співмножників є виродженою матрицею, сам є виродженою матрицею, а добуток будь-яких невироджених матриць є невиродженою матрицею.

2. Обернена матриця. Квадратна матриця називається оберненою до квадратної матриці , якщо для них справджуються рівності

.

Покажемо спочатку, що якщо для матриці існує обернена, то вона єдина. Справді, припустимо, що поряд з оберненою матрицею існує інша обернена матриця , тобто

.

Помножимо обидві частини цієї рівності зліва на :

.

Враховуючи, що , дістаємо

,

тобто .

Обернену матрицю до матриці позначають символом .

Покажемо тепер, що вироджена матриця , тобто матриця для якої , не має оберненої. Припустимо супротивне і нехай вироджена матриця має обернену . Тоді

.

Звідси,

.

За теоремою про визначник добутку матриць

,

тому

.

Але остання рівність неможлива, оскільки , тобто вироджена матриця не має оберненої. Нехай - невироджена квадратна матриця. Приєднаною матрицею до матриці називають матрицю, яка отримується транспонуванням матриці, складеної з алгебраїчних доповнень елементів матриці . Приєднану матрицю позначають , так що

.

Теорема. Будь-яка невироджена матриця має обернену, до того ж

.

Доведення. Знайдемо елементи добутку :

.

Якщо , то як сума добутків елементів -го рядка матриці на відповідні алгебраїчні доповнення елементів -го рядка тої самої матриці .

Якщо ж , то

.

Звідси,

,

або

.

Звідси, згідно з означенням оберненої матриці,

. (20)

Приклад. Знайти обернену матрицю до матриці , якщо

.

Перевіримо, чи матриця невироджена.

Отже, матриця має обернену.

Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів заданої матриці:

Знаходимо приєднану матрицю транспонуванням матриці з алгебраїчних доповнень:

.

Знаходимо обернену матрицю діленням кожного елемента приєднаної матриці на :

.

3. Матриця, обернена до добутку матриць. Нехай - невироджені квадратні матриці однакового порядку. Покажемо, що . Справді, знайдемо добуток матриць

.

Звідси, за означенням оберненої матриці,

.

§ 5. Крамерові системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

1. Загальні поняття. Рівняння з невідомими називається лінійним, якщо воно має вигляд

, (21)

де – деякі числа, які називаються коефіцієнтами рівняння (21). Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими

(22)

Розв’язком системи лінійних рівнянь (22) називається будь-яка сукупність чисел , яка перетворює кожне з рівнянь системи (22) в тотожність при заміні в ньому невідомих відповідними числами цієї сукупності.

Якщо система лінійних рівнянь має хоча б один розв’язок, то вона називається сумісною; якщо ж система не має розв’язку, то вона називається несумісною.

Якщо в системі (22) всі вільні члени є нулями, , то система називається однорідною, у супротивному – неоднорідною.

2. Означення крамерової системи лінійних рівнянь. Розглянемо систему лінійних рівнянь, в якій число рівнянь системи збігається з числом невідомих

(23)

Визначник

,

складений з коефіцієнтів системи при невідомих називається визначником системи (23). Система (23) називається крамеровою, якщо її визначник не дорівнює нулеві.

3. Правило Крамера. Позначимо через визначник системи лінійних рівнянь (23).

Теорема. Крамерова система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, який визначається за формулами

, , (24)

де - визначник, утворений з визначника заміною його -го стовпчика стовпчиком вільних членів.

Доведення. Покажемо спочатку, що якщо крамерова система сумісна, то вона має єдиний розв’язок.

Припустимо, що система (23) сумісна і нехай та - два її розв’язки. Підставивши по черзі ці розв’язки в систему (23), отримаємо дві системи тотожностей:

(25)

(26)

Від кожної тотожності системи (25) віднімемо відповідну тотожність системи (26):

(27)

Для якого-небудь , , помножимо кожну з тотожностей (27) на відповідне алгебраїчне доповнення і результати додамо:

(28)

На підставі (16´), , а всі решта коефіцієнти при різницях , , дорівнюють нулеві на підставі (17´). Звідси, (28) має вигляд

.

Оскільки за умовою, то . Звідси , , тобто обидва розв’язки збігаються і єдиність розв’язку доведено.

Покажемо тепер, що крамерова система сумісна, а саме – покажемо, що вона має розв’язок , . Для цього підставимо замість невідомих у ліву частину -го рівняння системи (23), .

.

Розкладемо визначник за елементами його -го стовпчика. Тоді

.

При , на підставі (16´),

,

а при , на підставі (17´),

. .

Звідси,

, .

Це означає, що сукупність чисел є розв’язком системи (23). Теорему доведено.

Зазначимо, що формули (24) для знаходження розв’язку крамерової системи лінійних рівнянь називаються правилом Крамера. Відзначимо також, що правило Крамера має в основному теоретичне значення, а для практичного розв’язування лінійних систем використовують інші, більш економні методи, декотрі з яких буде викладено в наступних пунктах.

Приклад. Розв’язати за правилом Крамера систему лінійних рівнянь

.

Перевіримо, чи система крамерова. Для цього знайдемо детермінант системи :

.

Отже, система має єдиний розв’язок.

Знаходимо визначники , , .

, , .

Шукаємо розв’язок системи за правилом Крамера:

, , .

4. Еквівалентні системи лінійних рівнянь. Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо множини їх розв’язків збігаються, або якщо обидві системи несумісні.

Поняття еквівалентних систем впроваджується з таких міркувань. Як правило, задану систему розв’язати важко. Якщо шляхом певних перетворень вдається перейти до більш простої системи, еквівалентної заданій, то доцільно шукати розв’язки отриманої системи, які збігаються з розв’язками заданої системи.

5. Елементарні перетворення лінійних систем. Такі перетворення систем лінійних рівнянь називаються елементарними:

1) переставляння (транспозиція) двох рівнянь системи;

2) множення якого-небудь рівняння системи на ненульове число;

3) додавання до будь-якого рівняння системи іншого її рівняння, помноженого на яке-небудь ненульове число.

Теорема. Кожне елементарне перетворення системи лінійних рівнянь переводить її в еквівалентну систему.

Доведення. Позначимо задану систему лінійних рівнянь через . Виконавши яке-небудь елементарне перетворення цієї системи, дістанемо нову лінійну систему .

Покажемо спочатку, що завжди існує елементарне перетворення, яке переводить систему знову в . Справді, якщо система отримана з переставлянням -го та -го рівнянь, то повторне переставляння тих самих -го та -го рівнянь системи приводить до системи . Якщо ж отримана з множенням -го рівняння на число , то множення -го рівняння системи на константу переводить систему в . Якщо, нарешті, отримана з додаванням до її -го рівняння добутку -го рівняння на постійну , то додавши до -го рівняння системи добуток її -го рівняння на постійну , отримаємо вихідну систему .

Покажемо тепер, що кожний розв’язок системи є одночасно розв’язком системи . Справді, якщо отримано з переставлянням рівнянь, то відрізняється від лише порядком запису рівнянь, а тому кожний розв’язок системи є одночасно розв’язком системи ; якщо отримано з множенням -го рівняння на сталу , то система відрізняється від системи лише -тим рівнянням, яке має вигляд

,

причому кожний розв’язок системи задовольняє це рівняння:

;

якщо отримано з додаванням до -го рівняння добутку -го рівняння на сталу , то відрізняється від лише -тим рівнянням, яке має вигляд

,

і кожний розв’язок системи задовольняє це рівняння:

.

Вважаючи тепер вихідною системою, дістаємо відповідним елементарним перетворенням. За щойно доведеним, кожний розв’язок системи є розв’язком системи .

Таким чином, якщо системи і такі, що одна з них отримана з іншої елементарним перетворенням, то їх розв’язки збігаються. Якщо одна з них несумісна, то несумісною буде й інша. Отже, системи і еквівалентні.

6. Метод Гауса. Нехай задано систему лінійних рівнянь

(29)

Можна вважати, що . Якщо , то переставивши місцями перше рівняння з таким, у якого коефіцієнт при невідомому не дорівнює нулеві і перепозначивши коефіцієнти, прийдемо до випадку .

Обидві частини першого рівняння послідовно множимо на , , і додаємо до -го рівняння. В результаті цих перетворень дістанемо систему

(30)

яка, очевидно, еквівалентна вихідній системі (29). Якщо в процесі перетворення системи (29) в (30) виникає рівняння, всі коефіцієнти якого разом з вільним членом, дорівнюють нулеві, то таке рівняння викреслюємо, не порушивши еквівалентності систем; якщо ж усі коефіцієнти рівняння при невідомих дорівнюють нулеві, а вільний член не дорівнює нулеві, то це означає, що система несумісна і процес розв’язування припиняємо.

Нехай тепер . Послідовно множимо друге рівняння системи (30) на , , і додаємо до -го рівняння. Дістаємо систему

(31)

Аналогічно перетворюємо систему (31), починаючи з третього рівняння, і цей процес продовжуємо доти, поки не прийдемо до системи

(32)

Система (32) має рівнянь, оскільки в процесі перетворень деякі рівняння могли викреслюватися, а описана процедура перетворення системи (29) в систему (32) називається прямим ходом методу Гауса.

Якщо , то система (32) має вигляд

(33)

В цьому випадку кажуть, що систему (29) зведено до трикутного вигляду (33). Легко побачити, що система (33) має єдиний розв’язок, який шукається зворотним ходом методу Гауса, а саме: з останнього рівняння визначаємо ; підставивши його значення в передостаннє рівняння, визначаємо ; цей процес продовжуємо доти, поки з першого рівняння не знайдемо .

Якщо , то невідомі оголошуються “вільними” і їм надається довільних значень. Тоді система набуває трикутного вигляду і її розв’язок шукаємо зворотним ходом методу Гауса. Оскільки “вільним” невідомим надається довільних значень, то зрозуміло, що система має безліч розв’язків.

Насамкінець зазначимо, що метод Гауса інакше називають методом послідовного виключення невідомих.

Приклад. Розв’язати методом Гауса систему лінійних рівнянь :

.

Для зручності реалізації прямого ходу методу Гауса переставимо місцями перше і друге рівняння системи

.

Помножимо перше рівняння на -2 і результат додамо до другого і третього рівнянь, потім помножимо перше рівняння на -3 і результат додамо до четвертого рівняння:

.

Помножимо друге рівняння на 4 і результат додамо до третього рівняння; помножимо друге рівняння на -1 і додамо до четвертого рівняння.

.

Помножимо друге рівняння на -1, четверте поділимо на 3, і переставимо місцями третє і четверте рівняння:

.

Помножимо третє рівняння на -5 і результат додамо до останнього рівняння:

.

Система звелася до трикутного вигляду, отже, вона має єдиний розв’язок, який знайдемо зворотним ходом методу Гауса. З останнього рівняння знаходимо , а з передостаннього ; з другого рівняння , а з першого . Отже, .

На практиці використовують більш компактний запис методу Гауса – замість системи записують лише матрицю її коефіцієнтів, причому стовпчик вільних членів відокремлюють вертикальною рискою. Для наведеного прикладу цей запис виглядає так:

~ ~ ~

~ ~ ~ ,

де знак ~ вжито у значенні «матриці еквівалентних систем».

7. Матричний метод. Для крамерової лінійної системи

(34)

позначимо

, , .

Тоді систему (34) можна стисло записати в матричному вигляді:

. (35)

Оскільки, , то матриця невироджена, тобто має обернену . Помножимо обидві частини матричної рівності (35) зліва на :

. (36)

Рівність (36) називається матричним методом розв’язування лінійних систем.