§3. Визначники.

1. Визначники 2-го та 3-го порядків. Визначником 2-го порядку називається величина, яка однозначно визначається квадратною матрицею 2-го порядку за правилом

.

Визначник інакше називають детермінантом і для визначника матриці використовують такі позначення: , , .

Приклади.

1. .

2. .

Визначником 3-го порядку називається величина, яка визначається матрицею третього порядку за правилом

.

Легко запам’ятати, що доданки у визначнику третього порядку разом зі знаками визначаються за схемами

Приклад.

2. Означення визначника -го порядку. Визначником -го порядку називається величина, що визначається квадратною матрицею -го порядку як алгебраїчна сума доданків, кожен з яких є добутком різних елементів матриці, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпчика, причому доданок береться зі знаком плюс, якщо індекси його співмножників складають парну підстановку, і зі знаком мінус – у супротивному випадку.

Означення визначника -го порядку стисло можна записати так:

, (3)

де - підстановка, верхню перестановку якої утворюють перші індекси співмножників, а нижню перестановку – другі індекси, так що

,

причому сумування проводиться по всій множині різних підстановок -го степеня.

Зазначимо, що означення визначників 2-го і 3-го порядку випливають з рівності (3) при і відповідно.

3. Властивості визначників. Означення визначників 2-го та 3-го порядку збігаються з правилами обчислення цих визначників. У випадку визначника -го порядку подане означення фактично непридатне для його обчислення. У цьому пункті вивчаються властивості визначників з метою віднайти більш-менш прийнятні способи їх обчислення.

1⁰. Транспонування матриці не змінює величини її визначника, тобто . Справді, кожний доданок визначника матриці з точністю до знака має вигляд

. (4)

Але всі множники добутку (4) і у визначнику матриці залишаються в різних рядках та різних стовпчиках, тому добуток (4) є членом визначника матриці . Отже, визначники матриць та складаються з одних і тих самих членів. Знак члена (4) у визначнику матриці визначається підстановкою

, (5)

а знак цього члена у визначнику матриці - підстановкою

. (6)

Оскільки парності підстановок (5) і (6) збігаються, то член (4) входить як у визначник матриці , так і у визначник матриці з тим самим знаком. Отже, визначники матриць та є сумами однакових членів, взятих з тими самими знаками, тому .

З доведеної властивості дістаємо важливий наслідок: рядки та стовпчики визначника рівноправні.

2⁰. Якщо який-небудь рядок визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулеві. Справді, в кожен член визначника повинен увійти множником один з елементів нульового рядка, тому кожен член визначника, а отже, і сам визначник, дорівнює нулеві.

3⁰. Якщо переставити місцями два рядки визначника, то визначник змінить знак на супротивний. Справді, переставляючи місцями -й та -й рядки визначника

,

дістанемо

. (7)

Якщо добуток

(8)

є членом визначника , то всі його співмножники й у визначнику (7) залишаються в різних рядках і різних стовпчиках, тому є членом визначника (7). Звідси, визначник і визначник (7) складаються з тих самих членів. Знак добутку (8) у визначнику визначається підстановкою

, (9)

а у визначнику (7) – підстановкою

, (10)

бо, наприклад, елемент матриці стоїть тепер в -тому рядку, але залишається в старому -тому стовпчику. Підстановки (9) і (10) мають, очевидно, протилежні парності, тому член (8) входить у визначник і визначник (7) з супротивними знаками, а тому і самі визначники мають супротивні знаки.

4⁰. Якщо визначник має два однакові рядки, то він дорівнює нулеві. Справді, нехай значення визначника дорівнює і нехай його -тий та -тий рядки однакові. Переставивши -тий та -тий рядки місцями, дістаємо, з одного боку, що нічого не змінилося і “новий” визначник дорівнює , а з другого боку, за 3⁰, визначник змінив знак і, отже, дорівнює . Таким чином, і звідси, .

5⁰. Спільний множник елементів якого-небудь рядка можна винести за знак визначника. Справді,

.

6⁰. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулеві. Справді, нехай елементи -того рядка відрізняються від відповідних елементів -того рядка на множник . Після винесення спільного множника з -того рядка за знак визначника отримаємо визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулеві на підставі 4⁰.

7⁰. Якщо всі елементи -того рядка є сумами двох доданків, , то визначник дорівнює сумі двох визначників, в яких всі рядки, крім -того, такі самі, як і у заданому визначнику, а -тий рядок одного з доданків складається з , а другого – з :

.

Справді,

Наслідок.

.

Кажуть, що -тий рядок визначника є лінійною комбінацією решти рядків, якщо існують такі числа , що для всіх .

8⁰. Якщо один з рядків визначника є лінійною комбінацією його решти рядків, то визначник дорівнює нулеві. Справді, застосовуючи послідовно властивості 7º та 6º, отримаємо

.

9⁰. Якщо до якого-небудь рядка визначника додати лінійну комбінацію решти його рядків, то величина визначника не зміниться. Справді, за властивостями 7º, 8º,

.

4. Мінори та їх алгебраїчні доповнення. Визначник -того порядку, утворений елементами, що стоять на перетині яких-небудь рядків та яких-небудь стовпчиків визначника -го порядку , , називається мінором -го порядку визначника .

Нехай - визначник -го порядку і нехай - який-небудь його мінор -го порядку, . Після викреслювання рядків та стовпчиків на перетині яких розташований мінор , залишаться елементи, які утворюють мінор порядку , який називається доповняльним мінором мінора .

Нехай мінор -го порядку розташований в рядках з номерами та стовпчиках з номерами . Позначимо . Алгебраїчним доповненням мінора називається доповняльний мінор , взятий зі знаком , тобто .

5. Теорема про добуток мінора на його алгебраїчне доповнення. Добуток довільного мінора визначника на його алгебраїчне доповнення є алгебраїчною сумою, кожний доданок якої є доданком визначника .

Доведення. Розглянемо спочатку випадок, коли мінор розташований у верхньому лівому кутку визначника .

.

В цьому випадку є числом парним, тому , тобто алгебраїчне доповнення мінора збігається з доповняльним мінором .

Мінор , як визначник, складається з доданків, що мають вигляд

, , (11)

а мінор - з доданків

, . (12)

Перемноживши вирази (11) і (12), дістанемо, що добуток мінорів складається з доданків, які мають вигляд

. (13)

Покажемо, що добутки (13) є одночасно і доданками визначника . Справді, елементи в добутку (13) беруться з різних рядків і різних стовпчиків, тому цей добуток увійде у визначник , але зі знаком , де

.

Оскільки , то жодне не може утворювати інверсії з жодним . Звідси, число інверсій підстановки дорівнює сумі чисел інверсій підстановок і , тому

.

Але добуток (13) має саме такий знак, тому (13) є доданком визначника .

Доведемо тепер загальний випадок, коли мінор розташований у рядках з номерами та у стовпчиках з номерами , до того ж , .

Переставимо місцями рядки та стовпчики визначника так, щоб мінор перемістився у верхній лівий кут. Для цього переставимо -й рядок з -м, потім з -м і т.д., поки -й рядок не опиниться на місці першого рядка; при цьому буде виконано транспозицій рядків. Аналогічно переставимо -й рядок на місце другого рядка, виконавши транспозицій рядків. Таке переставляння продовжуємо доти, поки рядок з номером не опиниться на місці -того рядка. При цьому, очевидно, буде виконано

транспозицій рядків.

Тепер аналогічним чином переставимо стовпчики з номерами визначника , виконавши при цьому транспозицій стовпчиків.

Після проведених перетворень отримується визначник , у якому мінор розташований у верхньому лівому кутку, а мінор - у правому нижньому. Оскільки визначник отримано з визначника шляхом виконання

транспозицій рядків і стовпчиків, то за 3⁰,

. (14)

У першій частині доведення було показано, що добуток є сумою певної кількості доданків визначника . Враховуючи (14), дістаємо, що є сумою певної кількості доданків визначника , або, що те саме, доданки добутку є доданками визначника . Теорему доведено.

6. Розклад визначника за елементами рядка, або стовпчика. Позначимо через доповняльний мінор елемента визначника , тобто мінор -го порядку, який залишається після викреслювання -го рядка та -го стовпчика визначника . Позначимо через алгебраїчне доповнення елемента , тобто . За теоремою про добуток мінора на його алгебраїчне доповнення, є сумою деяких членів визначника . Число цих членів збігається з числом членів мінора , тому дорівнює . Для довільного -го рядка визначника розглянемо добутки

. (15)

Теорема. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчні доповнення:

. (16)

Доведення. Жоден член визначника не може увійти до двох різних добутків з (15): всі члени визначника, які входять у добуток , містять з -го рядка елемент і тому відрізняються від членів добутку , які містять з -го рядка елемент , і т.д.

З другого боку, загальна кількість членів визначника , які входять у всі добутки (15), дорівнює , тобто добутками (15) вичерпуються всі члени визначника . Теорему доведено.

Зазначимо, що рівність (16) називається розкладом визначника за елементами -того рядка.

Наслідок. Сума добутків елементів будь-якого рядка визначника на відповідні алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка дорівнює нулеві.

Справді, за рівністю (16) для

. (17)

Зауваження 1. Оскільки, за властивістю 1⁰, рядки та стовпчики визначника рівноправні, то всі доведені для рядків властивості справджуються і для стовпчиків. Зокрема, справджується розклад визначника за елементами -го стовпчика

, (16´)

а також справджується аналог рівності (17):

. (17’)

Зауваження 2. Формули (16), (16’) показують, що обчислення визначника -го порядку можна звести до обчислення визначників -го порядку шляхом розкладу визначника за елементами якого-небудь рядка чи стовпчика. Але такий підхід буде оправданим лише при умові, що всі елементи рядка (стовпчика), за яким проводиться розклад, дорівнюють нулеві, крім одного. Цього можна досягти перетворенням визначника відповідно до його властивостей. Проілюструємо сказане на прикладі обчислення визначника 4-го порядку.

Приклад.

.

Помножимо останній рядок визначника на -1 і результат додамо до другого рядка. За властивістю 9° величина визначника від цього не зміниться:

.

Помножимо третій стовпчик на -2 і результат додамо до першого; помножимо третій стовпчик на 1 і додамо до другого:

.

Розкладемо визначник за елементами другого рядка:

.

Помножимо третій рядок отриманого визначника на 1 і додамо до першого рядка:

.

Помножимо третій стовпчик почергово на -1 і -4 і додамо до першого та другого стовпчика відповідно:

.

Винесемо за знак визначника спільний множник -6 з першого стовпчика, а з другого -15,

і розкладемо за елементами першого рядка:

.

7. Трикутний вигляд визначника. Кажуть, що визначник має трикутний вигляд, якщо всі його елементи, які лежать під головною діагоналлю, дорівнюють нулеві, тобто

.

Величина визначника, який має трикутний вигляд, дорівнює добутку елементів головної діагоналі. Справді, розкладаючи визначник за елементами першого стовпчика, дістанемо

.

Визначник, який стоїть у правій частині рівності, знову розкладемо за елементами першого стовпчика:

.

Повторивши процедуру розкладу визначника разів, дістанемо

.

Зазначимо, що будь-який визначник, не всі елементи якого дорівнюють нулеві, можна звести до трикутного вигляду.

Приклад. Звести визначник до трикутного вигляду та обчислити його значення, якщо

.

Щоб звести визначник до трикутного вигляду, необхідно, щоб у верхньому лівому кутку стояв ненульовий елемент, тому переставимо місцями перший і другий стовпчики:

.

Помножимо перший рядок на 2 і результат додамо до другого рядка; далі, помножимо перший рядок на –1 і додамо за чергою до третього та четвертого рядків:

.

Тепер помножимо другий рядок на –3 і додамо до третього рядка; помножимо другий рядок на 1 і додамо до четвертого рядка:

.

З третього рядка за знак визначника винесемо спільний множник –6 і для зручності обчислень переставимо місцями третій і четвертий стовпчики:

.

Помножимо тепер третій рядок на 1 і додамо до останнього рядка

.

Визначник набув трикутного вигляду. Остаточно,

.

8. Лема про визначник квазітрикутної матриці. Матриця називається квазітрикутною, якщо вона має такий вигляд:

.

Позначивши

, , ,

матрицю можна стисло записати так

.

Матриці , , , 0 називаються клітинами, або блоками, матриці .

Лема. Визначник квазітрикутної матриці дорівнює добуткові визначників клітин, що стоять на головній діагоналі:

.

Доведення. Доведемо лему методом математичної індукції. При лема очевидна:

.

Припустимо, що лема справджується для квазітрикутної матриці порядку і доведемо, що вона справджується для матриці порядку . Для цього розкладемо визначник квазітрикутної матриці за елементами першого рядка:

. (18)

Мінор є визначником -го порядку квазітрикутної матриці, тому, за припущенням індукції,

,

де матриця отримується з матриці , як вказують верхні індекси, викреслюванням першого рядка та -го стовпчика. Підставимо значення в (18):

.

Добуток є алгебраїчним доповненням елемента у визначнику , тому є розкладом визначника за елементами першого рядка.

Остаточно,

.

Лему доведено.

9. Теорема про визначник добутку матриць. Для квадратних матриць та однакового порядку

.

Доведення. Позначимо і складемо визначник квазітрикутної матриці порядку :

.

За лемою,

. (19)

Помножимо -й рядок визначника на , -й - на і т.д., -й – на і результати додамо до -го рядка, . Тоді на місці елементів -го рядка стануть нулі, а на місці нулів того самого -го рядка стануть величини

.

Проробивши описані операції для всіх , отримаємо

.

Поміняємо місцями перший та -й стовпчики, другий та -й і т.д., -й та -й. Тоді

.

За лемою,

.

Порівнюючи з (19), маємо

.

Теорему доведено.

10. Визначник Вандермонда. Визначник , який має вигляд

називається визначником Вандермонда.

Покажемо, що . Справді, при

.

Нехай формула справджується для визначника порядку і доведемо, що вона справджуєтся для визначника порядку . Перетворимо визначник так: від -го рядка віднімемо -й, помножений на ; від -го рядка віднімемо -й, помножений на , і т.д. В результаті дістанемо

.

Розкладемо цей визначник за елементами першого стовпчика і винесемо спільні множники у стовпчиках за знак визначника:

.

Останній визначник є визначником Вандермонда порядку , тому, за припущенням індукції, є добутком різниць , ,тобто

.