§2. Перестановки та підстановки.

1. Означення перестановки. Нехай - деяка множина з елементів, які перенумеровано за допомогою чисел . Позаяк природа елементів множини нас не буде цікавити, то можна вважати, що елементами множини є номери , тобто , які зовсім не обов’язково розміщувати в порядку зростання.

Множина перших натуральних чисел, записаних у деякому певному порядку, називається перестановкою з елементів.

Перестановку з елементів в загальному вигляді записують так

.

Тут кожен зі символів означає одне з чисел , причому жодне з цих чисел не зустрічається двічі.

Теорема 1. Число різних перестановок з елементів дорівнює .

Доведення. За можна взяти будь-яке з чисел , тобто маємо можливостей для вибору першого елемента перестановки. Якщо вибрано, то за можна взяти будь-яке з чисел, що залишилися після вибору . Звідси, число можливостей для вибору та дорівнює . Для вибору маємо можливості, тому , , можна вибрати способами. Продовжуючи далі такі міркування, доходимо висновку, що різних перестановок з елементів є .

2. Інверсії та парність; транспозиції. Кажуть, що пара елементів , в перестановці утворює інверсію, якщо . Кількість всіх пар елементів, що утворюють інверсії, називається числом інверсій перестановки. Наприклад, в перестановці (1, 5, 2, 4, 3) число інверсій дорівнює 4, оскільки є 4 пари, що утворюють інверсії – (5, 2), (5, 4), (5, 3), (4, 3). Перестановка з парним числом інверсій називається парною, а перестановка з непарним числом інверсій називається непарною.

Перетворення перестановки при якому переставляються місцями два її елементи, а решта елементів залишається на місці, називається транспозицією.

Теорема 2. Будь-яка транспозиція змінює парність перестановки.

Доведення. Розглянемо спочатку випадок, коли елементи над якими виконується транспозиція, стоять поруч в перестановці . Транспозиція перетворює цю перестановку в перестановку . Кожен з елементів і в обох перестановках утворює ті самі інверсії з елементами, які залишилися на місці. Якщо елементи і не утворювали інверсії в заданій перестановці, то вони утворюють її в новій перестановці, тобто число інверсій збільшилося на одиницю. Навпаки, якщо і утворювали інверсію, то в новій перестановці вони її не утворюють, тобто число інверсій зменшилося на одиницю. В обох випадках парність перестановки зміниться.

Нехай тепер між елементами і міститься елементів, тобто перестановка має вигляд

.

Транспозицію елементів і можна дістати в результаті послідовного виконання траспозицій сусідніх елементів – спочатку переставляється разів вправо, а потім переставляється разів вліво:

.

На підставі першої частини доведення кожна з транспозицій сусідніх елементів змінює парність підстановки, тобто парність заданої перестановки змінюється непарне число разів, а тому отримана перестановка має протилежну парність щодо заданої перестановки.

Зазначимо без доведення, що при число парних перестановок з елементів збігається з числом непарних, тобто дорівнює .

3. Означення підстановки. Підстановкою -го степеня називається взаємно однозначне відображення множини на себе.

Підстановку зручно записувати двома рядками - під кожним з елементів , розміщених у вигляді рядка, записують його образ при заданому відображенні у нижньому рядку. Наприклад, запис

означає, що 1 відображується в 3, 2 – в 2, 3 – в 4, 4 – в 1.

Елементи верхнього рядка зручно записувати в натуральному порядку, тобто підстановку -го степеня можна записати так:

,

де - деяка перестановка множини . Звідси, число різних підстановок -го степеня збігається з числом різних перестановок з елементів, тобто, за теоремою 1, дорівнює .

Зауважимо, що підстановка не зміниться, якщо деякі її стовпчики переставити місцями. Звідси, у найзагальнішому вигляді підстановка записується так:

,

де верхній і нижній рядки – деякі перестановки множини , а від одного запису підстановки до іншого її запису можна перейти за допомогою кількох транспозицій стовпчиків.

4. Парні та непарні підстановки. За теоремою 2, кожна транспозиція стовпчиків підстановки змінює парність числа інверсій як верхньої, так і нижньої перестановок. Звідси, парність чи непарність суми чисел інверсій цих перестановок не змінюється при траспозиції стовпчиків, а отже, не залежить від запису підстановки.

Підстановка називається парною, якщо сума чисел інверсій верхньої і нижньої перестановок довільного її запису парна; у супротивному випадку підстановка називається непарною.

З поданого означення випливає, що підстановка парна, якщо парності обох її перестановок збігаються, і непарна, якщо парності її перестановок різні.

Позначимо через суму чисел інверсій обох перестановок підстановки . Тоді буде парною, якщо і непарною, якщо .

5. Множення підстановок. Добутком двох підстановок -го степеня і називається підстановка того самого -го степеня, яка збігається з послідовним виконанням підстановок та і яка позначається .

Приклад. Нехай

, .

Тоді

.

Легко перевірити, що добуток підстановок асоціативний, тобто

,

але не комутативний:

.

Тотожна підстановка

відіграє роль одиниці при множенні підстановок:

.

Наголосимо, що операція множення для підстановок різних степенів не визначається.

6. Обернена підстановка. Якщо в записі підстановки переставити місцями рядки, то отримана підстановка називається оберненою до . Очевидно, що добуток підстановки на обернену є тотожною підстановкою. Обернену підстановку до підстановки позначають символом . Очевидно також, що для будь-якої підстановки існує обернена їй.

7. Поняття про групу. Кажуть, що в множині яких-небудь елементів визначено бінарну операцію, якщо вказано правило, за яким кожній парі елементів цієї множини ставиться у відповідність єдиний елемент тої самої множини . Цю операцію часто називають множенням, а елемент називають добутком елементів та і позначають .

Множина яких-небудь елементів називається групою, якщо в цій множині визначено бінарну операцію (множення) для якої справджуються такі аксіоми:

1) операція множення асоціативна, тобто ;

2) в множині існує елемент такий, що ; елемент називається одиничним елементом і часто позначається символом 1;

3) для кожного елемента існує елемент такий, що ; елемент називається оберненим до і позначається символом .

Оскільки в множині підстановок -го степеня визначено операцію множення для якої справджуються всі аксіоми групової операції, то множина підстановок -го степеня утворює групу відносно операції множення підстановок.