4. Про системи алгебраїчних рівнянь. Розв’язком многочлена називається така система значень невідомих , яка перетворює многочлен в нуль, .

Кожний многочлен , степінь якого більший від нуля, має розв’язки. Справді, для будь-якого набору комплексних чисел многочлен від однієї невідомої , згідно з основною теоремою, має комплексний корінь при умові . Звідси, кожний многочлен від невідомих має безліч розв’язків.

Для декількох многочленів від невідомих можна ставити задачу про знаходження спільних розв’язків для цих многочленів. Іншими словами, можна ставити задачу про знаходження розв’язків системи алгебраїчних рівнянь

Вивчення розв’язків таких систем є предметом окремої математичної дисципліни – алгебраїчної геометрії. Окремий випадок цієї системи, а саме системи лінійних алгебраїчних рівнянь, вивчається в курсі лінійної алгебри. Випадок, коли число лінійних рівнянь збігається з числом невідомих розглядалося в розділі I. Загальний випадок, коли число рівнянь і число невідомих ніяк не зв'язані, буде розглядатися в наступних розділах.

5. Результант. Нехай задано два многочлени з комплексними коефіцієнтами від однієї невідомої

При яких умовах многочлени , мають спільні корені? З попередніх результатів випливає, що многочлени і мають спільні корені тоді і лише тоді, коли вони не є взаємно простими, тому відповідь на поставлене запитання можна отримати за допомогою алгоритму Евкліда. В цьому пункті викладається інший підхід до розв’язання цього питання.

Нехай многочлен має корені , а – . Число

(53)

називається результантом многочленів і . Очевидно, що і тоді і лише тоді мають спільний корінь, коли .

Оскільки , то . Звідси,

. (54)

Точно так само

. (55)

Зазначимо, що многочлени і використовуються в означенні результанта не симетрично:

(56)

Означення (53) для результанта передбачає, що корені многочленів і відомі, а тому рівність (53) непридатна для розв’язання питання про існування спільного кореня цих двох многочленів. Виявляється, однак, що результант можна подати у вигляді многочлена від коефіцієнтів , многочленів і .

Теорема. , де

(57)

Доведення. Позначимо через такий допоміжний визначник порядку :

є визначником Вандермонда, тому

. (58)

Враховуючи (57) та рівність , обчислимо добуток :

(59)

Знайдемо тепер добуток як детермінант добутку матриць, перемноживши відповідні матриці.

.

Позначимо елементи матриці-добутку через і розглянемо чотири випадки.

1) , . Тоді

.

2) , . Враховуючи, що , маємо:

.

3) , . Оскільки , то

.

4) , . Тоді

.

Таким чином,

.

За лемою про визначник квазітрикутної матриці

.

Винесемо за знаки визначників спільні множники і зі стовпчиків і обчислимо отримані визначники як визначники Вандермонда:

.

Звідси, враховуючи (54) і (55),

. (60)

Праві частини рівностей (59) і (60) будемо розглядати як многочлени від невідомих , . Тоді, прирівнявши праві частини рівностей (59) і (60) і скоротивши на спільні множники, отримаємо рівність . Теорему доведено.

Приклад. Знайти результант двох квадратних тричленів , .

За рівністю (56)

.

Помножимо перший рядок визначника на і додамо до третього рядка. Розкладемо отриманий визначник за елементами першого стовпчика. Тоді

.

Помножимо перший рядок на і додамо до третього рядка. Розкладемо за елементами третього стовпчика:

.

Звідси,

. (61)

Два многочлени , не мають спільних коренів, бо, за (61), , а два многочлени , мають спільний корінь, бо ; цей корінь дорівнює 5.

6. Виключення невідомої з системи двох рівнянь з двома невідомими. Нехай , – два многочлени від двох невідомих , з комплексними коефіцієнтами. Запишемо ці многочлени за спадними степенями невідомої :

(62)

Коефіцієнти , – деякі многочлени від однієї невідомої. Знайдемо результант многочленів і як многочленів від і позначимо його . Очевидно, що буде деяким многочленом ,

. (63)

Припустимо, що система многочленів (62) має спільний розв’язок , . Підставляючи в (62) замість значення , отримаємо два многочлени , . Ці многочлени мають спільний корінь , тому їх результант дорівнює нулеві: . Таким чином, значення є коренем результанта . Навпаки, якщо результант многочленів (62) має корінь , то результант многочленів , дорівнює нулеві, тобто ці многочлени мають спільний корінь (при умові, що , ). Таким чином, задача знаходження спільних розв’язків системи многочленів (62) звелася до задачі знаходження коренів одного многочлена (63) від одної невідомої, або, як кажуть, невідому виключено зі системи многочленів (62).

Приклад. Знайти спільні розв’язки системи многочленів

Запишемо многочлени у вигляді

(64)

і знайдемо результант :

.

Результант має корені і . При цих значеннях невідомої старші коефіцієнти многочленів (64) не перетворюються в нуль, тому кожне з них разом з деяким значенням невідомої складає розв’язок заданої системи многочленів. Многочлени

мають спільний корінь , а для многочленів

спільним коренем є . Таким чином, задана система многочленів має два розв’язки: і .

7. Дискримінант. Поняття дискримінанта виникає при вивченні умов, за яких многочлен від однієї змінної має кратні корені.

Нехай многочлен

,

з комплексними коефіцієнтами має корені .

Дискримінантом многочлена називається добуток

.

Очевидно, що серед коренів многочлена є рівні тоді і лише тоді, коли . Іншими словами, многочлен має кратні корені тоді і лише тоді, коли .

Нагадаємо, що якщо число є -кратним коренем многочлена , то є -кратним коренем похідної . Навпаки, якщо є спільним коренем многочлена та його похідної , то є кратним коренем многочлена . Справді, нехай , . Припустимо, що є простим коренем многочлена . Тоді , . Звідси, . Суперечність. Таким чином, многочлен має кратні корені тоді і лише тоді, коли та мають спільні корені, що можливо лише при умові, що результант .

Підсумовуючи, скажемо, що многочлен має кратні корені тоді і лише тоді, коли . Знайдемо зв’язок між дискримінантом і результантом .

За формулою (54)

.

Диференціюючи рівність

,

отримаємо

.

При підстановці в цю рівність замість всі доданки, крім –го, перетворюються в нуль, тому

.

Звідси,

.

В цей добуток при всіх та , , входить як множник , так і множник . Їх добуток дорівнює . Оскільки існує пар індексів , таких, що , то

,

або, остаточно,

.

Приклад. Знайти дискримінант квадратного тричлена .

Оскільки , то

.

У нашому випадку , тому .