§ 6. Многочлени з багатьма невідомими.

1. Основні поняття. Многочленом з невідомими називається сума скінченного числа членів, які мають вигляд , де – натуральне число або нуль, – комплексний коефіцієнт.

Два многочлени , рівні, якщо їх коефіцієнти при однакових членах збігаються.

Степенем многочлена відносно невідомої , , називається найвищий показник, з яким невідома входить в члени цього многочлена.

Степенем члена називається сума показників всіх невідомих, тобто число .

Степенем многочлена (степенем за сукупністю невідомих) називається найвищий зі степенів його членів. Зокрема, многочленами нульового степеня є ненульові комплексні числа, а число нуль є єдиним многочленом від невідомих, степінь якого не визначений.

Зрозуміло, що в многочлен від багатьох невідомих може входити кілька різних членів найвищого степеня, тому поняття старшого члена многочлена позбавлене сенсу.

Многочлен, всі члени якого мають один і той самий степінь, називається однорідним, або формою.

Сумою многочленів і називається многочлен, коефіцієнти якого є сумами коефіцієнтів при однакових членах многочленів і ; якщо при цьому деякий член входить лише в один з многочленів , , то коефіцієнт при ньому в другому многочлені вважається рівним нулеві.

Добутком многочленів і називається многочлен, який отримується почленним перемножуванням многочленів і з наступним зведенням подібних членів. Легко побачити, що степінь добутку двох ненульових многочленів від невідомих дорівнює сумі степенів цих многочленів.

2. Лексикографічне розташування членів многочлена. Для многочлена від однієї невідомої існує два природних способи розташування його членів – за спадними, або за зростаючими степенями невідомої. У випадку многочленів від багатьох невідомих такого способу вже не існує, оскільки степені декількох різних членів можуть збігатися зі степенем многочлена. Для многочленів від багатьох невідомих існує інший, лексикографічний, спосіб розташування членів, який полягає в наступному.

Розглянемо два різних члени

, (34)

(35)

многочлена , які входять в цей многочлен з ненульовими коефіцієнтами. Оскільки члени (34), (35) різні, то хоч би одна з різниць показників , , не дорівнює нулеві. Член (34) називається вищим від члена (35) (відповідно, член (35) – нижчим від члена (35)), якщо існує такий номер , , що , . Іншими словами, член (34) вищий від члена (35), якщо показник невідомої в (34) більший, ніж в (35); якщо ці показники рівні, то показник в (34) більший, ніж в (35), і т.д. Зрозуміло, що якщо член (34) вищий від члена (35), то звідси не випливає, що степінь члена (34) більший від степеня члена (35). Наприклад, член вищий від члена , але має менший степінь.

Очевидно, що серед будь-яких двох різних членів многочлена один вищий від другого. Далі, якщо член (34) вищий від члена (35), а член (35) вищий від члена

, (36)

то член (34) вищий від члена (36). Справді, якщо член (34) вищий від члена (35), то існує такий номер , , що , , ; аналогічно, існує такий номер , , що , , . Якщо , то ; якщо ж , то ; якщо, нарешті, , то . Таким чином, у всіх трьох випадках член (34) є вищим від члена (36). Таким чином, якщо у записі многочлена кожний вищий член передує кожному нижчому, то отримуємо впорядкований запис членів многочлена, який називається лексикографічним. Наприклад, члени многочлена

розташовані в лексикографічному порядку.

При лексикографічному записі членів многочлена один з його членів буде вищим від усіх решти і буде стояти на першому місці; цей член називається вищим членом многочлена .

Лема. Вищий член добутку двох многочленів від невідомих дорівнює добуткові вищих членів співмножників.

Доведення. Справді, якщо

(37)

є вищим членом многочлена , а

(38)

• будь-який інший його член, то існує такий номер , , що , . Точно так само, якщо

, (39)

(40)

– відповідно вищий та який-небудь інший член многочлена , то існує такий номер , що , .

Знайдемо добутки членів (37) і (39) та членів (38) і (40):

(41)

. (42)

Легко побачити, що член (41) вищий від члена (42). Справді, якщо, наприклад, , то , але , бо , . Так само і при , , тому . Цілком так само перевіряється, що член (41) вищий від добутку членів (37) і (40), а також добутку членів (38) і (39). Звідси, при перемножуванні многочленів і член (41) є вищим від добутку будь-яких інших членів і тому не може знищитися при зведенні подібних членів і залишається, таким чином, вищим членом добутку .

3. Симетричні многочлени. Многочлен називається симетричним, якщо для нього справджується рівність

для всеможливих підстановок . Іншими словами, симетричний многочлен не змінюється при будь-якій перестановці невідомих.

Зрозуміло, що сума, різниця і добуток двох симетричних многочленів самі є симетричними многочленами. Очевидно, що будь-який многочлен нульового степеня, тобто кожна ненульова постійна, а також число нуль є симетричними многочленами.

Симетричні многочлени

(43)

називаються елементарними симетричними многочленами. Порівнюючи (43) з формулами Вієта, можна сказати, що коефіцієнти многочлена від однієї невідомої, старший коефіцієнт якого дорівнює одиниці, з точністю до знака є елементарними симетричними многочленами від його коренів.

Легко побачити, що будь-який цілий додатний степінь кожного з елементарних симетричних многочленів є симетричним многочленом; добуток таких степенів, а також сума таких добутків з будь-якими числовими коефіцієнтами також є симетричними многочленами. Іншими словами, будь-який многочлен з числовими коефіцієнтами від елементарних симетричних многочленів є симетричним многочленом від невідомих . Наприклад, многочлен при має вигляд

,

і є симетричним многочленом від невідомих . Справджується і обернене твердження.

Основна теорема про симетричні многочлени. Кожний симетричний многочлен від невідомих є многочленом від елементарних симетричних многочленів .

Доведення. Нехай для симетричного многочлена в його лексикографічному записі член

(44)

є вищим. Тоді показники степенів задовольняють нерівності

. (45)

Справді, припустимо супротивне, і нехай для деякого номера .Оскільки многочлен симетричний, то в нього входить член

, (46)

який отримується з члена (44) транспозицією невідомих та . Показники в членах (44) і (46) збігаються. Оскільки , то входить в член (46) у більшому степені, ніж в член (44), тому член (46) є вищим від члена (44), що суперечить умові.

Розглянемо многочлен

. (47)

Многочлен , як добуток симетричних многочленів сам є симетричним многочленом від невідомих . Знайдемо його вищий член. Оскільки вищі члени многочленів відповідно дорівнюють і оскільки вищим членом добутку є добуток вищих членів співмножників, то вищим членом многочлена , є

,

тобто збігається з членом (44). Звідси, при відніманні многочлена від многочлена вищі члени цих многочленів взаємно знищуються, тобто вищий член симетричного многочлена є нижчим від члена (44), який є вищим у многочлені . Застосовуючи той самий прийом до многочлена , прийдемо до рівності , де – добуток невід’ємних степенів елементарних симетричних многочленів з деяким комплексним коефіцієнтом, а – симетричний многочлен, вищий член якого нижчий від вищого члена многочлена . Таким чином, .

Продовжуючи цей процес, через скінченне число кроків отримаємо рівність , тобто отримаємо вираз для у вигляді многочлена від :

.

Для закінчення доведення теореми необхідно показати, що описаний процес не може бути нескінченним. Припустимо супротивне. Тоді отримується нескінченна послідовність симетричних многочленів

, (48)

до того ж вищий член кожного з них є нижчим від вищих членів попередніх многочленів, в тому числі і від члена (44). Звідси, якщо член

(49)

є вищим членом многочлена , то з симетричності цього многочлена випливає, що

. (50)

Крім того, оскільки член (49) нижчий від члена (44),

. (51)

Легко побачити, що існує скінченне число систем цілих невід’ємних чисел , для яких виконуються умови (50) і (51). Справді, якщо навіть проігнорувати умови (50) і вимагати лише, щоб всі , , не перевищували , то вибір таких чисел можливий найбільше способами. Звідси випливає, що послідовність многочленів (48), в якій понижуються вищі члени, не може бути нескінченною. Теорему доведено.

Нехай – деякий добуток степенів невідомих . Позначимо через суму всіх членів, які отримуються з члена всеможливими перестановками невідомих:

,

де сумування проводиться по всій множині підстановок -го степеня. Очевидно, що є симетричним однорідним многочленом. Наприклад, , , . Навпаки, в кожний симетричний многочлен від невідомих , в який входить член , входить і будь-який член многочлена , тобто в многочлен входить і сам многочлен .

Доведення основної теореми служить заодно і методом для практичного знаходження виразів симетричних многочленів через елементарні.

Приклад. Виразити симетричний многочлен від невідомих через елементарні симетричні многочлени.

Вищим членом многочлена є , тому

.

Обчислимо суму другого та четвертого доданків:

.

Для обчислення суми решти трьох доданків змінимо індекси сумування в них за допомогою підстановок , , відповідно:

.

Таким чином,

,

звідки

.

Звідси,

.

Теорема єдиності. Кожний симетричний многочлен можна лише єдиним чином подати у вигляді многочлена від елементарних симетричних многочленів.

Доведення. Покажемо спочатку, що якщо многочлен має хоч би один ненульовий коефіцієнт, тобто є ненульовим многочленом, то і многочлен , отриманий з заміною їх виразами через ,

,

також є ненульовим многочленом.

Нехай – який-небудь член многочлена , до того ж . Замінимо в цьому члені їх виразами (43). В результаті отримаємо многочлен від , вищим членом якого, як було встановлено при доведенні основної теореми, є член

,

де

Звідси,

тобто за показниками можна однозначно відновити показники вихідного члена многочлена . Звідси дістаємо, що різні члени многочлена як многочлени від мають різні вищі члени.

Розглянемо тепер всі члени многочлена . Подамо кожен з них у вигляді многочлена від і знайдемо вищі члени цих многочленів. З цих вищих членів виокремимо той, який є найвищим. Як тільки-що було показано, цей найвищий член не має подібних серед решти вищих членів. Тим більше він не має подібних членів з числа нижчих в кожному многочлені. Отже, при переході від многочлена до многочлена за формулами (43) виникає (вищий) член з ненульовим коефіцієнтом, який не може взаємно знищитися при зведенні подібних з жодним іншим членом. Іншими словами, не всі коефіцієнти многочлена дорівнюють нулеві, або, що все-одно, не є нульовим многочленом.

Припустимо тепер, що симетричний многочлен можна виразити через двома різними способами:

. (52)

Тоді різниця

є ненульовим многочленом від . Згідно з тільки-що доведеним, многочлен , який отримується з заміною за рівностями (43), також є ненульовим многочленом. З другого боку, використовуючи рівність (52), маємо

.

З отриманої суперечності випливає твердження теореми.