§ 4. Розподіл дійсних коренів многочлена.

1. Межі коренів. В цьому параграфі розглядаються лише многочлени з дійсними коефіцієнтами і лише дійсні корені таких многочленів.

Якщо всі дійсні корені многочлена належать деякому проміжку , то називається нижньою межею, а – верхньою межею дійсних коренів многочлена .

Покажемо, що для знаходження меж дійсних коренів досить вміти шукати лише верхню межу додатних коренів многочлена. Нехай – який-небудь многочлен -го степеня.

Теорема. Нехай многочлени , , мають верхніми межами своїх додатних коренів числа , , відповідно. Тоді число є нижньою межею додатних коренів многочлена , а числа та є відповідно нижньою та верхньою межами від’ємних коренів многочлена .

Доведення. Нехай – який-небудь додатний корінь многочлена , . Тоді число є додатним коренем многочлена :

.

Очевидно, що . Звідси, , тобто є нижньою межею додатних коренів многочлена .

Нехай тепер , . Тоді і , тобто є додатним коренем многочлена , тому . Звідси , що й означає, що число є нижньою межею від’ємних коренів многочлена . Далі, . Звідси, , або остаточно, . Теорему доведено.

2. Верхня межа додатних коренів. Подамо один з можливих способів знаходження верхньої межі додатних коренів многочлена.

Теорема. Нехай для многочлена

з дійсними коефіцієнтами . Нехай , , – перший з від’ємних коефіцієнтів, а – найбільший з модулів від’ємних коефіцієнтів. Тоді число є верхньою межею додатних коренів многочлена .

Доведення. Зазначимо спочатку, що такий коефіцієнт існує: якби всі коефіцієнти многочлена були додатними, то цей многочлен не мав би додатних коренів.

Доведення проведемо у припущенні, що . Замінимо кожен з додатних коефіцієнтів нулем, а кожен з коефіцієнтів – числом . Тоді

.

Знайдемо такі значення , щоб . Очевидно, при досить, щоб . Звідси, , або . Остаточно, . При таких значеннях , тобто многочлен не має додатних коренів, більших від .

Приклад. Знайти межі дійсних коренів многочлена .

Знайдемо верхню межу додатних коренів: , ; показник степеня невідомої при першому від’ємному коефіцієнті дорівнює 4, тому . Звідси, .

Знайдемо тепер нижню межу від’ємних коренів многочлена . Для цього побудуємо многочлен і знайдемо верхню межу його додатних коренів. Позаяк старший коефіцієнт многочлена від’ємний, то безпосередньо не можна використати теорему. Цю трудність легко подолати, якщо зауважити, що всі дійсні корені многочленів і збігаються. Отже, будемо шукати верхню межу додатних коренів многочлена для якого , , . Звідси, . Таким чином, нижньою межею від’ємних коренів многочлена є число -2. Остаточно, дійсні корені многочлена лежать на проміжку .

3. Система Штурма для многочлена. Нехай – многочлен з дійсними коефіцієнтами, який не має кратних коренів. Якби мав кратні корені, то замість ми розглядали б многочлен, який є часткою від ділення на .

Скінченна впорядкована система ненульових многочленів з дійсними коефіцієнтами

(31)

називається системою Штурма для многочлена , якщо для неї справджуються такі умови:

1) сусідні многочлени системи (31) не мають спільних коренів;

2) останній многочлен не має дійсних коренів;

3) якщо – дійсний корінь одного з проміжних многочленів системи (31), , то і мають різні знаки;

4) якщо – дійсний корінь многочлена , то добуток змінює знак з мінуса на плюс при переході через точку .

Теорема. Для будь-якого многочлена з дійсними коефіцієнтами, який не має кратних коренів, існує система Штурма.

Доведення. Покладемо . При цьому забезпечується виконання умови 4). Справді, якщо – простий дійсний корінь многочлена , то . Якщо , то в деякому околі точки , тобто є зростаючою фукцією в цьому околі, тому при переході через точку змінює знак з мінуса на плюс. Але тоді і добуток змінює знак з мінуса на плюс при переході через точку . Подібні міркування справджуються і у випадку .

Ділимо на і за беремо остачу з протилежним знаком: , де . Якщо многочлени , вже знайдено, то за беремо остачу від ділення на з протилежним знаком:

,

де

. (32)

Описаний алгоритм незначно відрізняється від алгоритму Евкліда. Зрозуміло, що цей процес припиниться через скінченне число кроків, а з того, що не має кратних коренів, тобто є взаємно простим з , випливає, що є деяким ненульовим дійсним числом. Звідси дістаємо, що для отриманої системи многочленів

справджується умова 2) з означення системи Штурма.

Покажемо, що справджується умова 1). Припустимо, що сусідні многочлени і мають спільний корінь . Тоді, за (32), є коренем многочлена . При заміні з (32) дістаємо, що є коренем многочлена і т.д. Продовжуючи цей процес, дістаємо, що є спільним коренем і , що суперечить умові, що і взаємно прості.

З рівності (32) випливає також, що виконується і умова 3): якщо , то . Теорему доведено.

4. Теорема Штурма. Нехай задано яку-небудь впорядковану систему ненульових дійсних чисел, наприклад,

1, 3, -2, 1, -4, -5, -2, 1, 1. (33)

В цій системі чисел чотири рази поруч стоять числа з протилежними знаками, тому кажуть, що в системі (33) є чотири зміни знаків.

Якщо дійсне число не є коренем даного многочлена , а (31) – система Штурма для цього многочлена, то з системи дійсних чисел

викреслимо всі нулі і позначимо через число змін знаків у системі, що залишилась. називається числом змін знаків в системі Штурма (31) для многочлена при .

Теорема. Якщо дійсні числа і , , не є коренями многочлена і не має кратних коренів, то , до того ж різниця дорівнює числу дійсних коренів многочлена на відрізку .

Доведення. Очевидно, що при зростанні число не може змінитися доти, поки не зустрінеться корінь якого-небудь многочлена системи Штурма. З огляду на це, достатньо розглянути два випадки: перехід через корінь одного з проміжних многочленів , , і перехід через корінь самого многочлена ( не має дійсних коренів).

Нехай , . Тоді, за умовою 1), , . Звідси, існує таке число , що на проміжку многочлени та зберігають постійні знаки, причому, згідно з умовою 3), ці знаки протилежні. Звідси випливає, що кожна з систем чисел

і

має рівно по одній зміні знаків. Таким чином, при переході через корінь одного з проміжних многочленів системи Штурма число не змінюється.

Нехай тепер . Тоді, за умовою 1), , тому існує таке , що зберігає постійний знак на проміжку . Якщо цей знак додатний, то, згідно з умовою 4), многочлен при переході через точку змінює знак з мінуса на плюс, тобто , . Тоді в системі чисел

є одна зміна знаків, а в системі чисел

такої зміни знаків нема. Іншими словами, в системі Штурма втрачається одна зміна знаків. Точно так само можна показати, що у випадку, коли в околі точки , то в системі Штурма також втрачається одна зміна знаків.

Таким чином, при зростанні число зменшується рівно на одиницю лише при переході через корінь многочлена . Теорему доведено.

При практичному використанні теореми Штурма для знаходження загального числа дійсних коренів за слід взяти нижню межу від’ємних коренів, а за – верхню межу додатних коренів.

.