§ 3. Корені многочленів.

1. Теорема Безу. Якщо многочлен перетворюється в нуль при підстановці в нього замість невідомої числа , тобто , то число називається коренем многочлена .

Теорема (Безу). Остача від ділення многочлена на лінійний двочлен дорівнює значенню многочлена при .

Доведення. Справді, за теоремою про ділення з остачею,

, .

Покладемо в цій рівності . Тоді . Теорему доведено.

Наслідок. Число є коренем многочлена тоді і лише тоді, коли ділиться на :

.

Звідси, задача знаходження коренів многочлена (задача розв’язування алгебраїчного рівняння) рівносильна знаходженню його лінійних дільників.

2. Схема Горнера. Метод Горнера – це більш простий метод ділення многочлена на лінійний двочлен, ніж загальний метод ділення многочленів.

Нехай

і нехай

, (26)

де

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях в (26), дістаємо

Звідси, , , , .

Приклад. Поділити на

.

Звідси,

, .

Зрозуміло, що метод Горнера надається для швидкого обчислення значення многочлена при заданому значенні невідомої, .

3. Кратні корені многочлена. Якщо для деякого натурального ділиться на , але не ділиться на , тобто

, ,

то число називається -кратним коренем многочлена . Якщо , то корінь називається простим.

Теорема. Якщо число є -кратним коренем многочлена , то при є -кратним коренем першої похідної цього многочлена; якщо ж , то .

Доведення. Зазначимо без доведення, що означення похідної від функції комплексної змінної формально збігається з означенням похідної від функції дійсної змінної. При цьому всі правила диференціювання зберігаються.

Нехай

, .

Продиференціюємо цю рівність:

.

Очевидно,

,

тобто многочлен у квадратних дужках не ділиться на . Таким чином, є найвищим степенем двочлена , на який ділиться . Теорему доведено.

4. Основна теорема. Не кожен многочлен з дійсними коефіцієнтами має дійсні корені. Наприклад, многочлен не має дійсних коренів. Однак в області комплексних чисел ситуація докорінно інша і описується основною теоремою алгебри, яку сформулюємо без доведення.

Основна теорема алгебри. Кожний многочлен над полем комплексних чисел, степінь якого не менший від одиниці, має принаймні один корінь.

Теорема 1. Кожний многочлен степеня , , з комплексними коефіцієнтами має рівно коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність.

Доведення. Справді, за основною теоремою алгебри, многочлен має корінь , тобто має розклад

.

Многочлен має корінь , тому

.

Продовжуючи цей процес, через кроків прийдемо до розкладу

. (27)

Тим самим доведено, що має не менше, ніж коренів. Залишилося показати, що має не більше, ніж коренів.

Припустимо, що існує ще один розклад

. (28)

Тоді

. (29)

Якби корінь не збігався з жодним з коренів , , то при в рівності (29) зліва отримується нуль, а справа – ненульове число, що неможливо, так що кожне дорівнює деякому і навпаки.

Щоб довести, що розклади (27) і (28) збігаються, потрібно ще показати наступне. Нехай серед коренів є коренів, які збігаються з , а серед коренів є коренів, що дорівнюють . Потрібно показати, що дорівнює . Зазначимо спочатку, що обидві частини рівності можна скорочувати на спільний ненульовий множник: якщо

, ,

то звідси

,

тобто

,

або

.

Застосуємо це зауваження до рівності (29). Якщо , то після скорочення на ліва частина рівності (29) містить множник , а права не містить. Це призводить до суперечності: при ліва частина дорівнює нулеві, а права – ні. Точно так само отримуємо суперечність у припущенні, що . Звідси, і єдиність розкладу (27) доведено. Теорему доведено.

Об’єднуючи однакові множники, рівність (27) можна переписати так:

, ,

де серед коренів вже нема рівних. Цю рівність можна переписати так

,

де , причому . Це означає, що корінь є -кратним коренем многочлена .

Теорема 2. Якщо многочлени і , степені яких не перевищують , набувають однакових значень більш ніж при різних значеннях невідомої, то .

Доведення. З умов теореми випливає, що многочлен має більше, ніж коренів. Оскільки , то . Теорему доведено.

Наслідок. Існує єдиний многочлен, степінь якого не перевищує , і який набуває наперед заданих значень при заданих різних значеннях невідомої.

Таким многочленом є інтерполяційний поліном Лагранжа

,

який набуває наперед заданих значень при заданих різних значеннях невідомої , причому степінь цього многочлена не перевищує .

5. Формули Вієта. Нехай многочлен -го степеня зі старшим коефіцієнтом ,

,

має корені , де кожний кратний корінь тут виписаний стільки разів, яка його кратність. Тоді має такий розклад:

.

Перемножимо дужки справа, зведемо подібні члени і прирівняємо отримані коефіцієнти до коефіцієнтів многочлена :

Таким чином, в правій частині -тої рівності, , стоїть сума всеможливих добутків по коренів, взята зі знаком плюс чи мінус в залежності від того, чи число парне чи непарне.

Отримані рівності називаються формулами Вієта.

Зазначимо, що при отримуються відомі з елементарної алгебри формули Вієта для зведеного квадратного рівняння.

Формули Вієта дозволяють легко отримати многочлен за його відомими коренями. Знайдемо, наприклад, многочлен третього степеня, який має простий корінь 1 та двократний корінь 2. За формулами Вієта

Тому

.

6. Многочлени над полем дійсних чисел. Розглянемо многочлен з дійсними коефіцієнтами

.

Твердження 1. Якщо коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами є комплексне число , то коренем цього многочлена є також комплексно спряжене число .

Справді, нехай

.

Тоді

. (30)

Якщо , то , тобто, за (30), і твердження доведено.

Наслідок. Якщо комплексне число є коренем многочлена , то ділиться на квадратний тричлен

,

з дійсними коефіцієнтами , і від’ємним дискримінантом.

Твердження 2. Корені і многочлена мають одну й ту саму кратність.

Нехай корені та мають відповідно кратності та і припустимо, що . Тоді ділиться на :

.

Многочлен як частка двох многочленів з дійсними коефіцієнтами, також має дійсні коефіцієнти. має число своїм -кратним коренем, тоді як не є його коренем. Це суперечить твердженню 1, тому .

З тверджень 1, 2 та з єдиності розкладу (27) випливає така теорема.

Теорема. Кожний многочлен з дійсними коефіцієнтами можна єдиним чином розкласти в добуток лінійних двочленів , що відповідають дійсним кореням , та квадратних тричленів , кожен з яких відповідає парі комплексно спряжених коренів:

,

.

Звідси, зокрема, дістаємо, що серед многочленів з дійсними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом 1, незвідними, тобто такими, що не розкладаються на множники меншого степеня з дійсними коефіцієнтами, є лише лінійні двочлени та квадратні тричлени з від’ємними дискримінантами.