4. Властивості подільності многочленів.

1⁰. Якщо ділиться на , а ділиться на , то ділиться на .

Справді, нехай і . Тоді .

.

2⁰. Якщо і діляться на , то діляться на .

Нехай і нехай . Тоді .

.

3⁰. Якщо ділиться на , то добуток , де – довільний многочлен, також ділиться на . Справді, якщо , то .

4⁰. Якщо кожен з многочленів ділиться на , то на також ділиться многочлен , де – довільні многочлени. Випливає з 2⁰ і 3⁰.

5⁰. Кожен многочлен ділиться на будь-який многочлен нульового степеня. Справді, .

6⁰. Якщо ділиться на , то ділиться і на , , . Нехай і . Тоді .

.

7⁰. Всі дільники многочлена , які мають той самий степінь, що й , мають вигляд , , . Справді, якщо і , то з рівності маємо , тобто , , тому . Остаточно, .

8⁰. Многочлени і одночасно діляться один на одного тоді і лише тоді, коли , , . Випливає з 7⁰. ( , ).

9⁰. Кожний дільник одного з двох многочленів і , , є дільником і для другого. Випливає з 1⁰ і 8⁰.

5. Найбільший спільний дільник. Многочлен називається спільним дільником многочленів і , якщо він є дільником кожного з цих многочленів.

Найбільшим спільним дільником двох ненульових многочленів і називається такий многочлен , який 1) є їх спільним дільником і 2) сам ділиться на будь-який інший спільний дільник цих многочленів.

Найбільший спільний дільник позначається символом .

6. Алгоритм Евкліда. Алгоритм Евкліда призначений для знаходження найбільшого спільного дільника двох многочленів і і полягає в наступному. Ділимо на і дістаємо остачу ; ділимо на і дістаємо остачу ; ділимо на і т.д. Оскільки степені остач постійно зменшуються, , то на певному кроці ділення виконається без остачі і процес припиниться. Остача , на яку без остачі ділиться попередня остача , є найбільшим спільним дільником многочленів і .

Справді, запишемо цей алгоритм ланцюжком рівностей

(22)

Остання рівність означає, що є дільником многочлена . З передостанньої рівності маємо

,

тобто ділиться на . Піднімаючись вгору ланцюжком (22), таким самим способом дістаємо, що є дільником , , . Отже, є спільним дільником і .

Покажемо, що є найбільшим спільним дільником і . Нехай – довільний спільний дільник многочленів і :

; .

Тоді з першої з рівностей (22) випливає, що ділиться на :

.

Рухаючись вниз ланцюжком рівностей (22), поступово дістаємо, що є дільником . Звідси, за означенням найбільшого спільного дільника, є найбільшим спільним дільником многочленів , .

Зауваження. Наголосимо ще раз, що є дільником кожної з проміжних остач , , , . Звідси, на підставі властивості 9°, є дільником кожного з многочленів , , , , а також многочленів , .

Приклад. Знайти найбільший спільний дільник многочленів , та .

.

Згідно з зауваженням за остачу можна взяти многочлен . Ділимо многочлен на :

Оскільки поділився на без остачі, то є найбільшим спільним дільником многочленів і .

7. Взаємно прості многочлени. Два многочлени називаються взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник є многочленом нульового степеня.

З властивості 6⁰ випливає, що найбільший спільний дільник двох многочленів визначається з точністю до постійного множника, тому можна вважати, що два многочлени взаємно прості тоді і лише тоді, коли їх НСД дорівнює одиниці: .

Теорема. Якщо є найбільшим спільним дільником многочленів і , то існують такі многочлени і , що

. (23)

Якщо додатково , , то можна так підібрати і , щоб , .

Доведення. В передостанній з рівностей (22) покладемо , . Враховуючи, що , маємо

.

Підставимо сюди значення через та з (22):

,

де

, .

Піднімаючись таким способом вгору вздовж ланцюжка рівностей (22), прийдемо до потрібної рівності (23).

Нехай , . Покажемо, що можна так підібрати , , що , . Припустимо, що многочлени , знайдено, але, наприклад, . Поділимо на :

, ,

і підставимо у (23):

. (24)

Припустимо, що . Оскільки при множенні многочленів їх степені додаються, то остання нерівність не порушиться, якщо многочлени в обох частинах помножити на многочлен :

. (25)

З умови випливає, що і звідси, враховуючи нерівність (25), отримуємо . За правилом додавання двох многочленів степінь суми дорівнює більшому зі степенів доданків, тому нерівність (25) не порушиться, якщо до многочлена в лівій частині додати многочлен меншого степеня:

,

Звідси, за (24),

.

Але отримана рівність неможлива, оскільки з означення найбільшого спільного дільника двох многочленів . Отже, припущення неможливе, тому .

Наслідок 1. Многочлени і взаємно прості тоді і лише тоді, коли існують такі многочлени і , що

.

Наслідок 2. Якщо многочлен взаємно простий з кожним з многочленів і , то він взаємно простий і з їх добутком.

Справді, існують такі многочлени , , що

.

Помноживши обидві частини цієї рівності на , дістанемо

.

Якщо припустити, що і мають спільний дільник , , то ліва частина рівності ділиться на , отже, на мусить ділитися і права частина . Це означає, що , що суперечить умові .

Наслідок 3. Якщо добуток многочленів і ділиться на , але при цьому і взаємно прості, то ділиться на .

Для доведення цього твердження помножимо рівність

на :

.

Обидва доданки лівої частини діляться на , отже, також ділиться на .

Наслідок 4. Якщо ділиться на кожний з многочленів , , які між собою взаємно прості, то ділиться і на їх добуток.

Справді, . Звідси, добуток ділиться на . Оскільки , то, за наслідком 3, ділиться на , . Звідси, , що і треба було довести.