§ 2. Подільність многочленів.

1. Основні поняття та означення. Одночленом називається добуток цілого невід’ємного степеня невідомої на число – , , .

Многочленом називається сума кількох одночленів:

.

Найбільший зі степенів невідомої називається степенем многочлена і позначається символом ; числа називаються коефіцієнтами многочлена; коефіцієнт при найбільшому степені невідомої називається старшим коефіцієнтом, а одночлен з найбільшим степенем невідомої називається старшим членом; коефіцієнт називається вільним членом. В цьому розділі вивчаються многочлени з комплексними коефіцієнтами, або, як прийнято говорити в алгебрі, многочлени над полем комплексних чисел .

Будь-яке ненульове число розглядається як многочлен нульового степеня, оскільки його можна подати так: ; число нуль є єдиним многочленом степінь якого не визначений, бо .

Два многочлени називаються рівними, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових степенях невідомої .

Сумою двох многочленів , , , називається многочлен

,

для якого , , причому при коефіцієнти слід покласти рівними нулеві.

Добутком многочленів і називається многочлен

,

коефіцієнти якого обчислюються за формулою

, .

Звідси, зокрема, випливає, що степінь добутку двох многочленів дорівнює сумі степенів цих многочленів.

Легко перевірити, що число 0 як многочлен (невизначеного степеня) в множині многочленів відіграє роль нульового елемента, а многочлен є протилежним елементом для многочлена . Число 1 як многочлен нульового степеня грає роль одиничного елемента. Крім того, для операцій додавання та множення многочленів справджуються властивості асоціативності, комутативності та дистрибутивності, оскільки ці операції зводяться до операцій з комплексними числами для яких вказані властивості справджуються. Таким чином, сукупність всіх многочленів над полем комплексних чисел утворює комутативне кільце з одиницею.

Наголосимо, що для жодного многочлена ненульового степеня оберненого елемента не існує, або, що те саме, ділення в кільці многочленів неможливе.

2. Алгоритм ділення з остачею. Для многочленів, як і для цілих чисел, існує алгоритм ділення з остачею.

Теорема про ділення з остачею. Для будь-яких двох многочленів і існує єдина пара многочленів і , що

, (17)

до того ж , або .

Доведення. Доведемо, що такі многочлени і існують. Нехай

.

Якщо , то можна покласти , і рівність (17) справджується.

Нехай . Покладемо

. (18)

Позначимо степінь многочлена через , а його старший коефіцієнт – через . Зрозуміло, що .

Якщо , то покладемо

(18₁)

і позначимо степінь многочлена через , а його старший коефіцієнт – через . Очевидно, . Якщо все ще , то покладемо

(18₂)

і т.д.

Оскільки степені многочленів , ,… спадають, , то після скінченного числа кроків прийдемо до такого многочлена ,

, (18_к-1)

степінь якого менший від і на цьому процес закінчується.

Додамо почленно рівності (18), (18₁),…, (18_к-1):

.

Звідси, позначивши

,

,

дістаємо рівність (17), до того ж .

Доведемо єдиність многочленів і . Нехай існує ще одна пара многочленів і , для яких

, (19)

причому . Прирівняємо праві частини рівностей (17) і (19):

. (20)

Якщо , то степінь лівої частини рівності (4) не менший від степеня , тоді як степінь правої частини менший від степеня , що неможливо. Звідси, , тобто , а тоді і , або . Теорему доведено.

Викладений метод знаходження многочленів та для заданих многочленів і називається алгоритмом ділення многочленів з остачею. Многочлен називається часткою, а – остачею від ділення многочлена на многочлен . Якщо , то кажуть, що ділиться на без остачі.

Приклад. Поділити з остачею многочлен на многочлен

, , .

3. Дільники многочлена. Многочлен називається дільником многочлена , якщо ділиться на без остачі. В цьому випадку ще кажуть, що ділиться на .

Теорема. Многочлен є дільником многочлена тоді і лише тоді, коли існує многочлен такий, що

. (21)

Доведення. Якщо є дільником многочлена , то рівність (21) випливає з рівності (17) при , причому за береться частка від ділення на .

Навпаки, нехай існує многочлен , який задовольняє рівність (21). Тоді з рівності (17) випливає, що частка від ділення на дорівнює , а остача дорівнює нулеві, що й означає, що є дільником многочлена .