3. Введение в модель времени в качестве независимой переменной

.

Этот прием применяется очень широко при анализе временных рядов. Суть его состоит в том, что тенденция фиксируется посредством включения фактора времени в модель в качестве независимой переменной. При наличии линейной тенденции регрессионная модель имеет следующий вид (6.15):

, (6.15)

где b – коэффициент регрессии, который показывает средний прирост результативного признака на единицу прироста фактора ;

с – коэффициент регрессии, отражающий прирост в результате воздействия на него неучтенных в модели факторов, которые равномерно изменяются во времени. Именно в результате влияния неучтенных факторов формируется тенденция временного ряда.

Параметры модели (6.15) определяются МНК. Затем проверяется статистическая значимость отличия от нуля оценок параметров с помощью t-критерия Стьюдента. Если коэффициенты регрессии b и c окажутся значимо отличными от нуля, то, следовательно, тенденция благополучно исключена. Значит, полученную модель можно использовать для прогнозирования дальнейшего развития процесса.

Основное преимущество модели (6.15) (в сравнении с методами отклонений от тренда и последовательных разностей) в том, что она учитывает всю информацию, содержащуюся в исходных данных, поскольку для ее построения используются фактические значения уровней и . Кроме того, в отличие от метода последовательных разностей, модель (6.15) рассчитывается по всей совокупности наблюдений, что способствует получению более точных оценок параметров.

6.4 Практическое применение различных методов построения факторных моделей

Пример 17. построить модель зависимости импорта нефти ( ) от цен за баррель нефти на мировом рынке ( ), используя данные табл. 6.1.

Предположив, что в следующем (двенадцатом) году цена за 1 баррель нефти увеличится на 10 % по отношению к ее среднему уровню за ряд предшествующих лет, следует спрогнозировать величину объема импорта нефти, используя различные подходы к построению модели.

Таблица 6.1 – Данные об импорте нефти и ценах за 1 баррель нефти

Порядко-вый номер года, t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Импорт нефти, , млн. баррелей	1749	1702	1769	1600	1431	1325	1302	1341	1232	1180	1162
Цена за 1 баррель, , дол.	13,48	14,76	18,92	22,97	30,29	34,66	30,77	29,36	28,07	26,40	27,79

Решение.

Используем метод отклонений от тренда

1. Проверим, содержат ли временные ряды и тенденцию с помощью коэффициентов автокорреляции первого порядка. Для этого удобно воспользоваться данными, представленными в таблице 6.2.

Таблица 6.2 – Исходные данные для расчета коэффициентов

автокорреляции первого порядка.

1749		13,48
1702	1749	14,76	13,48
1769	1702	18,92	14,76
1600	1769	22,97	18,92
1431	1600	30,29	22,97
1325	1431	34,66	30,29
1302	1325	30,77	34,66
1341	1302	29,36	30,77
1232	1341	28,07	29,36
1180	1232	26,40	28,07
1162	1180	27,79	26,40

с помощью функции КОРРЕЛ MS Excel вычислим коэффициент автокорреляции для ряда (т.е. коэффициент корреляции между массивом и ), получили = 0,93. Аналогично для ряда (коэффициент корреляции между массивом и ), получили = 0,87.

Высокие значения этих коэффициентов свидетельствуют о наличии линейной тенденции в каждом из рассматриваемых временных рядов.

2. Исключим тенденцию методом отклонений от тренда. Для этого с помощью функции ЛИНЕЙН найдем уравнения линейных трендов:

и .

В Диалоговом окне функции ЛИНЕЙН в опции “известные значения х” указываем порядковый номер года t = 1,2,3…11. Можно также эту опцию пропустить. По умолчанию машина сама введет соответствующие величины.

Результаты моделирования тренда , полученные с помощью функции ЛИНЕЙН:

–66,1909	1832,873
6,825988	46,2961
0,912647	71,59157
94,02983	9
481936	46128,17

=1832,873 – 66,1909 t

Результаты моделирования тренда , полученные с помощью функции ЛИНЕЙН:

1,443818	16,56164
0,493968	3,350256
0,486984	5,180784
8,543322	9
229,3072	241,5647

= 16,5616 + 1,4438 t

Подставляя в полученные уравнения t = 1,2,…, 11 (либо посредством функции ТЕНДЕНЦИЯ), найдем расчетные значения уровней исходных рядов, которые вычтем из фактических значений (вычислим отклонения от трендов):

и .

Результаты расчетов представлены в табл. 6.3.

Таблица 6.3 – Трендовые составляющие и отклонения от трендов

Порядковый номер года, t	Импорт нефти, , млн. баррелей	Цена за 1 баррель, , дол.
1	1749	13,48	1766,6818	18,0055	-17,6818	-4,5255
2	1702	14,76	1700,4909	19,4493	1,50909	-4,6893
3	1769	18,92	1634,3	20,8931	134,7	-1,9731
4	1600	22,97	1568,1091	22,3369	31,8909	0,63309
5	1431	30,29	1501,9182	23,7807	-70,9182	6,50927
6	1325	34,66	1435,7273	25,2245	-110,727	9,43545
7	1302	30,77	1369,5364	26,6684	-67,5364	4,10164
8	1341	29,36	1303,3455	28,1122	37,6545	1,24782
9	1232	28,07	1237,1545	29,556	-5,15455	-1,486
10	1180	26,4	1170,9636	30,9998	9,03636	-4,5998
11	1162	27,79	1104,7727	32,4436	57,2273	-4,6536

Проверим, удалось ли исключить тенденцию. Для этого рассчитаем коэффициенты автокорреляции первого порядка для рядов и . Получили: = 0,35, а = 0,75. Можно отметить, что удалось значительно снизить влияние тенденции в ряду и менее значительно в ряду .

3. Построим уравнение регрессии на с помощью функции ЛИНЕЙН:

–9,1457	–6,3E–14
3,45305	16,18167
0,43803	53,66854
7,01499	9
20205,4	25922,81

= – 9,1457 .

4. Осуществим прогноз. Сначала рассчитаем величину цены за 1 баррель нефти на прогнозный период, учитывая, ожидаемое ее увеличение на 10 % по отношению к среднему уровню.

Воспользуемся функцией СРЗНАЧ и получим = 25,2246. Увеличим это число на 10%:

= 25,2246  1,1 = 27,747.

Для того чтобы найти отклонение от тренда , вычислим двенадцатое трендовое значение:

16,5616 + 1,4438  12 = 33,8872.

Тогда

= 27,747 – 33.8872 = – 6,1402.

Подставив полученное значение в модель, получим:

= – 9,1457 (– 6,1402) = 56,1564.

Поскольку , то в следующем году . Отсюда

.

Найдем :

= 1832,873 – 66,1909  12 =1038,582 (млн. бар.)

Тогда прогнозный объем импорта нефти составит:

= 1038,582 + 56,1564 = 1094,739 (млн. бар).

к построению модели для прогнозирования можно подойти иначе. В уравнение = – 9,1457 вместо и подставим выражения, определяющие эти величины, получим:

,

или, с учетом построенных ранее трендовых моделей, запишем:

= – 9,1457[ ].

Отсюда имеем:

.

Окончательно, модель зависимости объема импорта нефти от цены за 1 баррель:

.

Таким образом, увеличении цены за один баррель на 1 долл. объем импорта нефти уменьшается в среднем на 9,1457 млн. бар. Кроме того, при неизменном уровне цен в среднем ежегодно объем импорта нефти уменьшается на 52,986 млн. бар.

На основе этой модели спрогнозируем импорт нефти на следующий год при ожидаемой цене за один баррель в 27,747 долл:

(млн.бар.)

Теперь исключим тенденцию методом первых разностей.

В табл. 6.4 представлен расчет первых разностей по каждому из двух временных рядов.

Проверим, насколько удачно удалось исключить тренд (тенденцию).

Довольно низкие значения найденных коэффициентов автокорреляции первого порядка = 0,03 и = - 0,15 свидетельствуют о том, что методом первых разностей тенденция исключена гораздо лучше, чем предыдущим способом.

Таблица 6.4 – Первые разности уровней временных рядов

Порядковый номер года, t	Импорт нефти, , млн. баррелей	Цена за 1 баррель, , дол.
1	1749	13,48	-	-
2	1702	14,76	-47	1,28
3	1769	18,92	67	4,16
4	1600	22,97	-169	4,05
5	1431	30,29	-169	7,32
6	1325	34,66	-106	4,37
7	1302	30,77	-23	-3,89
8	1341	29,36	39	-1,41
9	1232	28,07	-109	-1,29
10	1180	26,4	-52	-1,67
11	1162	27,79	-18	1,39

Построим факторную модель зависимости от . Используя функцию ЛИНЕЙН, получим:

–9,80863	–44,6638
7,263628	26,34316
0,185628	76,54551
1,823517	8
10684,38	46873,72

Таким образом,

= – 44,6638 – 9,8086 .

Это уравнение имеет вполне естественную интерпретацию: при увеличении прироста цены за один баррель на 1 долл. прирост импорта нефти уменьшается в среднем на 9,8086 млн. бар.

Спрогнозируем объем импорта нефти в двенадцатом периоде. Ранее посчитали = 27,747. Тогда для этого периода составит:

= – = 27,747 – 27,79 = – 0,043

= – 44,6638 – 9.80863  (– 0,043)= - 44.242

Для двенадцатого периода = – . Отсюда = + . Таким образом, объем импорта нефти в двенадцатом периоде ожидается на уровне:

= 1162 + (– 44,242) = 1117,758 (млн. бар.).

построим факторную модель, включив в качестве независимой

переменной время (t).

Функция ЛИНЕЙН позволила получить следующую модель:

-52,9862	-9,1457	1984,34
7,577647	3,662515	70,9532
0,95091	56,92409	#Н/Д
77,48255	8	#Н/Д
502141,4	25922,81	#Н/Д

=1984,34 – 9,1457 -52,9862 t

(27,9669) (-2,4971) (-6,9924)

В скобках указаны t-статистика, рассчитанная как отношение соответствующих коэффициентов регрессии к их стандартным ошибкам. Поскольку t – статистика коэффициентов b и c больше табличного значения = =2.306 ( = 2.4971>2.306 и =6.9924>2.306), то с вероятностью 95% можно утверждать, что влияние каждого фактора на объем импорта нефти является существенным. Влияние тенденции удалось успешно обособить от влияния фактора x. Значение коэффициента детерминации 0.95 и довольно большая F-статистика, равная 77.48, подтверждают адекватность модели регрессии, включающей фактор времени.

Согласно значениям коэффициентов модели повышение цены одного барреля нефти на 1 доллар снижает импорт нефти в страну в среднем на 9.1457 млн. баррелей. За счет других факторов импорт нефти уменьшается в среднем на 52.9862 млн. баррелей.

Спрогнозируем объем импорта нефти в двенадцатом периоде, т. е. при t = 12 и = 27,747, подставив значения этих переменных в модель, включающую фактор времени. Получим

= 1984,34 – 9,145727,747 – 52,986212 = 1094,74 (млн. бар.).

Как видно из расчетов, ожидаемый объем импорта нефти, полученный по трем моделям, примерно одинаков.