Адаптивное прогнозирование

В практике адаптивного прогнозирования наиболее часто используются две базовые СС-модели: Брауна и Хольта, первая из которых является частным случаем второй. Прогнозная оценка вычисляется в момент времени t на k шагов вперед:

(5.8)

где а_0t и а_1t – текущие оценки коэффициентов адаптивной модели.

Далее определяется величина ошибки прогнозирования:

. (5.9)

В соответствии с этой величиной корректируются коэффициенты модели.

В двухпараметрической модели Ч. Хольта, которая представляет процесс развития как линейную тенденцию с постоянно изменяющимися параметрами, коэффициенты модифицируются следующим образом:

(5.10)

где ₁, ₂ – параметры сглаживания (адаптации), находящиеся в интервале

[0, 1];

е_t – ошибка прогнозирования уровня Y_t, вычисленная в момент времени (t – 1) на один шаг вперед, е_t = Y_t – .

Коэффициенты вычисляют последовательно, от уровня к уровню, и их значения для последнего уровня определяют окончательный вид модели. Начальные значения коэффициентов оцениваются с помощью МНК на основе нескольких (например, пяти) первых уровней ряда.

Коэффициент а₀ – значение, близкое к последнему уровню, и представляет как бы закономерную составляющую этого уровня: коэффициент а₁ – определяет прирост, сформировавшийся в основном к концу периода наблюдений, но отражающий также (правда, в меньшей степени) скорость роста и на более ранних этапах.

5.2.1 Модель Брауна

частным случаем модели Хольта является модель линейного роста Брауна. В модели Брауна модификация (адаптация) коэффициентов линейной модели осуществляется следующим образом:

(5.11)

(5.12)

где  – коэффициент дисконтирования, изменяющийся в пределах

от 0 до 1, характеризующий обесценение данных за

единицу времени и отражающий степень доверия более

поздним наблюдениям;

или иначе, (1 – ) = , где  – коэффициент сглаживания;

е_t – ошибка прогнозирования уровня ряда Y_t (е_t = Y_t – ), вычисленная в

момент времени (t – 1) на один шаг вперед.

Начальные значения коэффициентов а₀ и а₁ находятся методом наименьших квадратов на основе нескольких первых наблюдений. Далее параметры модели оцениваются последовательно, от уровня к уровню в соответствии с формулами их преобразования (5.11 – 5.12), и их значения для последнего уровня определяют окончательный вид модели.

Оптимальное значение  находится итеративным путем, т.е. многократным построением модели при разных значениях  и выбором наилучшей.

Точечный прогноз получают следующим образом:

(5.13)

а интервальный – по формуле

, (5.14)

где

. (5.15)

Модель Брауна может отражать развитие не только в виде линейной тенденции, но и в виде случайного процесса, не имеющего тенденции, а также в виде изменяющейся параболической тенденции.

Модель Брауна с единственным параметром  сравнивалась с многопараметрическими моделями, и во многих случаях демонстрировала явные преимущества. Поэтому на практике для прогнозирования рядов с линейной тенденцией предпочтительнее использовать более простую модель Брауна, к положительным чертам которой можно отнести следующие: логичная, ясная и легко понимаемая концепция; оптимальное значение единственного параметра можно быстро найти эмпирическим путем; коэффициенты модели прогнозирования оцениваются совместно таким образом, чтобы уменьшить автокорреляцию в остатках.

Пример 15. Построим прогноз по линейной модели Брауна курса немецкой марки за май 1997 г. Исходный временной ряд содержит 19 уровней наблюдения данного показателя (2-й столбец таблицы).

Начальные оценки параметров модели получим по первым пяти точкам при помощи МНК:

19,70	3302,10
5,12	16,98
0,83	16,19
14,81	3,00
3880,90	785,90

Полученная модель используется для прогноза на один шаг, поэтому перепишем ее в виде:

где k –шаг.

Расчетное значение показателя для k = 1:

Ошибка прогноза:

С учетом ошибки прогноза следует скорректировать величину коэффициентов модели а₀ и а₁ по формулам (5.11) и (5.12). Для этого надо определить величину коэффициента дисконтирования . Как отмечалось ранее, наилучшее значение  находится итеративным путем, поэтому мы выполнили построение модели при различных значениях  (от 0,1 до 0,9) и определили величину ошибок MSE и MAPE. Результаты представлены на рис. 5.8 и 5.9.

Из рис. 5.6 и 5.7 видно, что минимальное значение как MSE, так и MAPE достигают при  = 0,6. Поэтому примем параметр дисконтирования  равным величине 0,6, и рассмотрим методику применения модели Брауна.

скорректируем коэффициенты модели:

рис. 5.6. Изменение величины MSE в зависимости от 

Рис. 5.7. Изменение величины MAPE в зависимости от 

С учетом выполненной корректировки получаем расчетное значение показателя Y для k = 2:

=3328,97 +21,492  1 = 3350,46.

Вычисляем ошибку прогноза:

е₂ = Y₂ – = 3337 – 3350,46 = –13,46.

Корректируем коэффициенты:

Расчетное значение Y для k = 3, полученное на основе модели после корректировки:

= 3341,85 + 19,34  1 = 3361,18 и т.д.

Все расчеты представлены в табл. 5.5.

На последнем шаге (при t = 19) получена модель:

,

которую будем использовать для осуществления прогноза за рамками ретроспективного периода.

Прогнозные оценки (точечные) по этой модели получаются подстановкой в нее значений:

k = 1 ,

k = 2 .

Таблица 5.5 – Прогноз курса немецкой марки

t	Y	аo	а1		et	et2
0		3302,10	19,70
1	3333,00	3328,97	21,49	3321,80	11,20	125,4	0,003
2	3337,00	3341,85	19,34	3350,46	-13,46	181,2	0,004
3	3354,00	3356,59	18,19	3361,18	-7,18	51,61	0,002
4	3364,00	3367,88	16,46	3374,78	-10,78	116,1	0,003
5	3418,00	3405,88	21,85	3384,34	33,66	1133	0,010
6	3392,00	3404,86	16,13	3427,73	-35,73	1277	0,011
7	3380,00	3394,76	9,57	3421,00	-41,00	1681	0,012
8	3406,00	3405,40	9,84	3404,33	1,67	2,783	0,000
9	3394,00	3401,65	6,44	3415,24	-21,24	451,1	0,006
10	3409,00	3408,67	6,59	3408,09	0,91	0,832	0,000
11	3410,00	3411,89	5,75	3415,26	-5,26	27,66	0,002
12	3425,00	3422,35	6,92	3417,64	7,36	54,18	0,002
13	3409,00	3416,30	3,68	3429,27	-20,27	411	0,006
14	3415,00	3416,79	2,88	3419,98	-4,98	24,79	0,001
15	3416,00	3417,32	2,30	3419,68	-3,68	13,51	0,001
16	3402,00	3408,34	-0,52	3419,62	-17,62	310,4	0,005
17	3387,00	3394,49	-3,85	3407,82	-20,82	433,4	0,006
18	3391,00	3390,87	-3,80	3390,64	0,36	0,13	0,000
19	3390,00	3388,95	-3,33	3387,07	2,93	8,566	0,001
20				3385,62	Сумма	6303	0,077
21				3382,29	S	MSE	MAPE
					19,26	331,74	0,004

На рис. 5.8 представлены результаты аппроксимации и прогнозирования по этой модели. Ряд 1 соответствует фактическим данным, а ряд 2 – расчетным данным по модели Брауна, при этом указаны точечные прогнозы на два шага вперед.

Рис. 5.8. прогноз курса немецкой марки на основе линейной

модели Брауна

Для построения интервального прогноза вычислим

k = 1 ,

k = 2 .

Интервальный прогноз:

t = 20 (k = 1) t = 21 (k = 2)

3385,62  19,26  2,11  1,478 3382,29  19,26  2,11  2,528

3385,62  60,064 3382,29  102,734

3325,556  3445,684 3279,556  3485,034

Таким образом, получили 95%-е доверительные интервалы, которые отражают прогнозируемые значения рассматриваемого показателя на следующие два периода. Видим, что точность предсказания с ростом периода упреждения понижается (интервал для k = 2 шире, чем для k = 1).

5.2.2 Адаптивные модели сезонных явлений

Многие экономические временные ряды содержат периодические сезонные колебания. Такие ряды могут быть описаны моделями двух типов - моделями с мультипликативными и с аддитивными коэффициентами сезонности.

Очевидно, что можно составить множество адаптивных сезонных моделей, перебирая различные комбинации типов тенденций в сочетании с сезонными эффектами аддитивного и мультипликативного вида. Выбор той или иной модели будет продиктован характером динамики исследуемого процесса.

В качестве примера рассмотрим модель Уинтерса с линейным характером тенденции и мультипликативным сезонным эффектом. Эта модель является объединением двухпараметрической модели линейного роста Хольта и сезонной модели Уинтерса, поэтому ее чаще всего называют моделью Хольта-Уинтерса. Эта модель определяется четырьмя следующими уравнениями.

1) уравнение для сглаживания наблюдений (экспоненциально сглаженные ряды) имеет вид

, (5.16)

2) уравнение, сглаживающее сезонность (оценка сезонности),

, (5.17)

3) уравнение для описания тренда

, (5.18)

4) прогноз на k периодов вперед задается уравнением:

. (5.19)

где L_t – новое сглаженное значение или оценка текущего уровня;

₁ – константа сглаживания для этого уровня;

Y_t – новое наблюдение или реальное значение величины за период;

S_t – оценка сезонности;

₂ – константа сглаживания для оценки сезонности;

q – длительность периода сезонного колебания (число периодов в году, характеризующих сезонность: для ежемесячных наблюдений q = 12, для квартальных – q = 4);

T_t – оценка тренда (характеристика тенденции развития);

₃ – константа сглаживания для оценки тренда;

k – количество периодов в будущем, на которое строится прогноз;

– мультипликативный сезонный фактор;

– прогноз на k периодов вперед.

Прогноз по модели Хольта – Уинтерса на заданный квартал (или месяц) включает эффект от сглаживания по трем уравнениям: после учета сезонности и тренда оценки сглаживаются в уравнениях (5.18) и (5.17), а в уравнении делается прогноз.

Выражение в (5.19) характеризует сглаженную десезонализированную ошибку и учитывает сглаженный тренд. Оно умножается на сглаженную оценку сезонности квартала (или месяца) года, предыдущего периоду осуществления прогноза.

Оптимальные значения для Уинтерс предлагает находить экспериментальным путем, задавая сетку значений этих параметров (т.е. все комбинации ) и выбирая ту комбинацию, которая даст меньшее значение MSE.

На начальном этапе процедуры прогнозирования возникает проблема определения начальных значений S₀ и a_1,0, относящихся к нулевому периоду, который предшествует первому периоду временного ряда.

Как и в случае линейного экспоненциального сглаживания, возможны два способа определения начальных значений.

способ 1. Первая оценка полагается равной первому наблюдению. При этом тренд будет равным нулю.

1. Полагаем начальные сезонные индексы равными 1.

2. Полагаем начальную оценку тренда a_1,0 = 0.

3. Полагаем начальное сглаженное значение для четвертого квартала (для 12-го месяца) нулевого года равным фактическому значению для 4-го квартала (12-го месяца) первого года. Оно является также прогнозом для каждого из четырех кварталов (каждого из 12 месяцев) первого года.

способ 2. Начальное значение определяется как среднее для первых пяти или шести наблюдений. Тогда тренд можно оценить наклоном линии, образованной этими пятью или шестью точками.

1. Используя фактические данные за первые два (или более) года, определим индексы сезонности. Это могут быть 4 квартальных значения или 12 месячных. Положим их равными соответствующим сезонным оценкам для первого года. Заметим, что для вычисления начальных индексов сезонности можно использовать данные за период более двух лет.

2. Десезонализируем данные за первые два (или более) года, обозначив их через d_t. Используя эти данные в качестве входной информации, оценим методом наименьших квадратов уравнение прямой . Тогда начальная оценка тренда Т₀ = b.

3. Начальная сглаженная величина для квартала 4 (месяца 12) нулевого года определится так:

L₀ = (а + b0)  (сезонный индекс для квартала 4 (месяца 12),

полученный на шаге 1) = a  (сезонный индекс),

где a - свободный член уравнения, полученного на шаге 2. Величина L₀ также будет являться прогнозной оценкой ( ) для каждого из 4-х кварталов (12 месяцев) первого года.