- •§1. Системы любых уравнений: определения, геометрическая трактовка, равносильность, основные методы решения
- •§2. Некоторые приёмы решения систем нелинейных уравнений
- •1. Исключение одной неизвестной в простейшем случае, когда в системе есть линейное уравнение
- •2. Преобразование системы с целью получить линейное уравнение.
- •3. Введение вспомогательной неизвестной (частичная замена неизвестных)
- •4. Полная замена неизвестных
- •5. Симметричные системы
- •6. Использование однородного уравнения в системе
- •7. Графическое решение систем с целью определения количества решений
§1. Системы любых уравнений: определения, геометрическая трактовка, равносильность, основные методы решения
Системой называется любое конечное множество уравнений. В общем случае можно рассматривать системы m уравнений относительно n неизвестных. Причём, возможны все три случая:
1) – система называется замкнутой;
2) – система называется незамкнутой, или недоопределённой;
3) – система называется переопределённой.
Решением системы уравнений с n неизвестными называется упорядоченный набор из n чисел, удовлетворяющих каждому уравнению системы.
Решить систему – это значит найти все её решения или доказать отсутствие решений.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
ПРИМЕРЫ
Охарактеризуем следующие системы:
1)
является решением системы, следовательно, система является переопределённой и совместной;
2)
система не имеет решений, следовательно, система является переопределённой и несовместной.
Вывод 1. Переопределённая система чаще всего (но не всегда!) бывает несовместной.
3)
система имеет два решения: и , следовательно, система является замкнутой и совместной.
Вывод 2. Система, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных, чаще всего (но не всегда!) является совместной и имеет конечное множество решений.
4)
система является недоопределённой и совместной, имеет бесконечное множество решений.
Вывод 3. Недоопределённая (незамкнутая) система чаще всего бывает совместной и имеет бесконечное множество решений.
Геометрическая трактовка уравнений и систем с двумя неизвестными
|
Одно уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений , которые в плоскости прямоугольных координат XOY образуют некоторую линию; это означает, что уравнение является уравнением этой линии в том смысле, что координаты каждой точки , лежащей на линии, удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки , не лежащей на линии, не удовлетворяют этому уравнению.
|
|
Система двух уравнений: имеет решения, которые являются координатами точек пересечения линий, имеющих уравнения и .
|
|
Система трёх уравнений: . Если такая переопределённая система имеет решение , то этим решением являются координаты точки пересечения всех линий, соответствующих уравнениям системы.
|
ПРИМЕРЫ
1. Определим количество решений системы, построив графики её уравнений:
1) – 2 решения; |
2) – 0 решений; |
3) – 0 решений; |
|
|
|
4) – бесконечное множество решений.
|
2. Определим значения параметра k, при которых будет совместной каждая из следующих систем:
1)
|
2)
|
Ответ: только при . |
Ответ: только при . |
Равносильность систем
Две системы называются равносильными на некотором числовом множестве, если они имеют совпадающие наборы решений на этом множестве.
ПРИМЕРЫ
1. Установим, на каком множестве равносильны следующие пары систем:
1) и
2-я система:
системы равносильны на множестве пар действительных чисел;
2) и
системы равносильны на множестве пар действительных чисел, из которого удалена пара .
2. Сделав равносильные переходы для системы , найдём все её решения:
.
Таким образом, система имеет два решения .
Перечислим основные действия над системами, которые гарантированно приводят к системе, равносильной данной:
1. Любое уравнение системы заменить на ему равносильное уравнение.
2. Одно уравнение системы заменить почленной суммой, разностью, произведением или отношением двух уравнений системы.
3. Если в системе одна неизвестная выражена через другие, то можно осуществить подстановку этого выражения во все уравнения системы:
.
4. Если система содержит уравнение, в котором левая часть представлена произведением нескольких выражений, а правая часть равна нулю, то есть уравнение вида ,
то она равносильна совокупности нескольких систем:
.
5. Если система содержит неизвестные под знаком модуля, то она равносильна совокупности нескольких систем с условиями, при которых раскрываются модули.
Например, .
Основные методы решения любых систем
Метод исключения неизвестных, который осуществляется способом подстановки или способом алгебраического сложения уравнений.
Метод замены неизвестных.
Графический метод.
УПРАЖНЕНИЯ
Задача 1
Решите систему, выполнив равносильные переходы от заданной системы к значениям неизвестных:
1) 2)
3) 4)
Ответы: 1) ;
2) ;
3) ;
4)
.
.
Задача 2
Определите графически, сколько решений имеет каждая из следующих систем.
1) 2) 3) 4)
Ответы: 1) 2 решения; 2) 3 решения; 3) 4 решения; 4) 0 решений.
Задача 3
Определите, при каком значении параметра с каждая из следующих систем будет совместной:
1) 2) 3) 4)
Ответы: 1) при ; 2) при и при ;
3) при ; 4) при .
Задача 4
Решите следующие системы:
1) 2) 3)
4) 5) 6) .
Ответы: 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
Задача 5
Определите количество решений системы в зависимости от параметра а:
1) 2) 3) 4)
Ответы:
1) |
|
0, если , 2, если , 4, если ; |
2) |
|
0 при , 4 при , 8 при ;
|
4) |
4) |
|
0, если , 1, если , 2, если . |
3) |
|
0 при , 1 при , 2 при ; |