§1. Системы любых уравнений: определения, геометрическая трактовка, равносильность, основные методы решения

Системой называется любое конечное множество уравнений. В общем случае можно рассматривать системы m уравнений относительно n неизвестных. Причём, возможны все три случая:

1) – система называется замкнутой;

2) – система называется незамкнутой, или недоопределённой;

3) – система называется переопределённой.

Решением системы уравнений с n неизвестными называется упорядоченный набор из n чисел, удовлетворяющих каждому уравнению системы.

Решить систему – это значит найти все её решения или доказать отсутствие решений.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

ПРИМЕРЫ

Охарактеризуем следующие системы:

1)

является решением системы, следовательно, система является переопределённой и совместной;

2)

система не имеет решений, следовательно, система является переопределённой и несовместной.

Вывод 1. Переопределённая система чаще всего (но не всегда!) бывает несовместной.

3)

система имеет два решения: и , следовательно, система является замкнутой и совместной.

Вывод 2. Система, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных, чаще всего (но не всегда!) является совместной и имеет конечное множество решений.

4)

система является недоопределённой и совместной, имеет бесконечное множество решений.

Вывод 3. Недоопределённая (незамкнутая) система чаще всего бывает совместной и имеет бесконечное множество решений.

Геометрическая трактовка уравнений и систем с двумя неизвестными

	Одно уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений , которые в плоскости прямоугольных координат XOY образуют некоторую линию; это означает, что уравнение является уравнением этой линии в том смысле, что координаты каждой точки , лежащей на линии, удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки , не лежащей на линии, не удовлетворяют этому уравнению.
	Система двух уравнений: имеет решения, которые являются координатами точек пересечения линий, имеющих уравнения и .
	Система трёх уравнений: . Если такая переопределённая система имеет решение , то этим решением являются координаты точки пересечения всех линий, соответствующих уравнениям системы.

ПРИМЕРЫ

1. Определим количество решений системы, построив графики её уравнений:

1) – 2 решения;	2) – 0 решений;	3) – 0 решений;
4) – бесконечное множество решений.

2. Определим значения параметра k, при которых будет совместной каждая из следующих систем:

1)	2)
Ответ: только при .	Ответ: только при .

Равносильность систем

Две системы называются равносильными на некотором числовом множестве, если они имеют совпадающие наборы решений на этом множестве.

ПРИМЕРЫ

1. Установим, на каком множестве равносильны следующие пары систем:

1) и

2-я система:

системы равносильны на множестве пар действительных чисел;

2) и

системы равносильны на множестве пар действительных чисел, из которого удалена пара .

2. Сделав равносильные переходы для системы , найдём все её решения:

.

Таким образом, система имеет два решения .

Перечислим основные действия над системами, которые гарантированно приводят к системе, равносильной данной:

1. Любое уравнение системы заменить на ему равносильное уравнение.

2. Одно уравнение системы заменить почленной суммой, разностью, произведением или отношением двух уравнений системы.

3. Если в системе одна неизвестная выражена через другие, то можно осуществить подстановку этого выражения во все уравнения системы:

.

4. Если система содержит уравнение, в котором левая часть представлена произведением нескольких выражений, а правая часть равна нулю, то есть уравнение вида ,

то она равносильна совокупности нескольких систем:

.

5. Если система содержит неизвестные под знаком модуля, то она равносильна совокупности нескольких систем с условиями, при которых раскрываются модули.

Например, .

Основные методы решения любых систем

1. Метод исключения неизвестных, который осуществляется способом подстановки или способом алгебраического сложения уравнений.

2. Метод замены неизвестных.

3. Графический метод.

УПРАЖНЕНИЯ

Задача 1

Решите систему, выполнив равносильные переходы от заданной системы к значениям неизвестных:

1) 2)

3) 4)

Ответы: 1) ;

2) ;

3) ;

4)

.

.

Задача 2

Определите графически, сколько решений имеет каждая из следующих систем.

1) 2) 3) 4)

Ответы: 1) 2 решения; 2) 3 решения; 3) 4 решения; 4) 0 решений.

Задача 3

Определите, при каком значении параметра с каждая из следующих систем будет совместной:

1) 2) 3) 4)

Ответы: 1) при ; 2) при и при ;

3) при ; 4) при .

Задача 4

Решите следующие системы:

1) 2) 3)

4) 5) 6) .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Задача 5

Определите количество решений системы в зависимости от параметра а:

1) 2) 3) 4)

Ответы:

1)

0, если , 2, если , 4, если ;

2)

0 при , 4 при , 8 при ;

4)

4)

0, если , 1, если , 2, если .

3)

0 при , 1 при , 2 при ;