
- •Криволинейные интегралы
- •§ 1. Криволинейный интеграл первого рода.
- •§ 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
- •§ 3. Криволинейный интеграл второго рода.
- •Cвойства криволинейного интеграла.
- •§ 4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
- •§ 5. Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл.
- •6. Формула Грина.
- •Поверхностные интегралы
- •§ 1. Поверхностные интегралы первого рода.
- •§ 2. Поверхностные интегралы второго рода
- •§ 3. Вычисление поверхностного интеграла.
- •Элементы векторного поля
- •§ 1. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению.
- •§ 2. Градиент
- •§ 3. Векторное поле. Поток векторного поля.
- •§ 4. Формула Остроградского.
- •§ 5. Дивергенция.
- •§ 6. Формула Стокса.
- •§ 7. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •§ 8. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка.
- •§ 9. Простейшие векторные поля.
§ 3. Вычисление поверхностного интеграла.
Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению двойного интеграла.
Рассмотрим интеграл
У
читывая,
что уравнение поверхности σ: z
= z(x,
y)
и
получим
Полученная сумма есть интегральная сумма для двойного интеграла от функции R(x, y, z(x, y)) по области D. Поэтому
Знак «+» берем,
если
« - » берем,
если
<
Аналогично вычисляются интегралы
Пример Вычислим интеграл
J=
2
где σ – внешняя
сторона части сферы
,
заключенной в первом октанте.
z
D1, D2, D3 – проекции поверхности
σ на координатные плоскости
D2 D1
0 D3 у
х
J2
= S
– площадь четверти круга =
J1, J3 – вычислим, перейдя к полярным координата
Итак,
Элементы векторного поля
§ 1. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению.
Определение. Полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлено в соответствие определенное значение некоторой физической величины.
Если физическая величина скалярная, то поле называется скалярным, а если векторная, то векторным.
Примерами скалярных полей могут служить поле распределения температуры, поле распределения потенциала в электрическом поле и т.д.
Примерами векторных полей служат: силовое поле, поле скоростей текучей жидкости, магнитное поле и т.д.
Скалярное поле считается заданным, если в каждой точке P определена скалярная функция u (P) , называемая функцией поля.
Иногда пишут u (x, y, z).
Определение Поверхностью уровня скалярного поля называют геометрическое место точек, в которых функция u принимает постоянное значение, т.е.
u (x, y, z) = C
Если в частном случае скалярное поле плоское, т.е. мы изучаем распределение значений физической величины в какой-то плоской области, то функция поля u зависит от двух переменных, например х и у. Линиями уровня этого поля будут линии уровня функции u (x, y)
u (x, y) = C
Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения функции поля в заданном направлении.
Пусть нам задана функция поля u (x, y, z).
Возьмем т. Р(x,
y,
z)
и какой-нибудь луч
,
из нее выходящий. Направление этого
луча зададим углами α, β, γ, которые он
образует с направлением осей ox,
oy,
oz.
Если
- единичный вектор, направленный по лучу
λ, то его проекциями будут направляющие
косинусы
Пусть т. Р1(x1,
y1,
z1)
лежит на луче λ , Расстояние РР1
обозначим через ρ. Проекции вектора
на оси координат будут, с одной стороны,
равны
ρ cos α, ρ cos β, ρ cos γ,
а с другой стороны – разностям x1 – x, y1 – y, z1 – z.
Следовательно,
Рассмотрим теперь приращение функции u при переходе из т. Р в т. Р1
Если т. Р будет изменять свое положение на луче λ, то в выражении для разности u(P1) – u(P) будет меняться только величина ρ.
Составим отношение
и перейдем к пределу при
,
предполагая, что этот предел существует.
Определение. Предел
(1)
называется производной от функции u(x, y, z) по направлению λ в т. Р.
Этот предел будем
обозначать символом
или
Величина его зависит от выбранной т. Р(x, y, z) и от направления луча λ,
т.е. от α, β, γ.
Если т. Р фиксирована, то величина производной будет зависеть только от направления луча λ.
Из определения производной по направлению следует, что если направление λ совпадает с положительным направлением оси ох,
т.е.
,
,
то lim
(1) будет
просто равен частной производной от
функции u(x,
y,
z)
по х:
Аналогично получаем
частные производные
,
Подобно тому как
частные производные
,
,
характеризуют скорость изменения
функции u
в направлении осей координат, так и
производная по направлению
будет являться скоростью изменения
функции поля u(x,
y,
z)
в т. Р по направлению луча λ. Абсолютная
величина производной
по направлению λ определяет величину
скорости, а знак производной характер
изменения функции u
(возрастание или убывание).
Вычисление производной по направлению производится при помощи следующей теоремы:
Теорема: Для всякой дифференцируемой функции u(x, y, z) существует производная по любому направлению λ, причем
,
где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы луча λ.
Доказательство. Полное приращение для функции u (x, y, z) будет
,
где Е – бесконечно
малая величина более высокого порядка,
чем ρ.
Полагая
,
,
,
получим
причем
при
.
Разделим обе части последнего равенства на ρ
Переходя к пределу при , получим:
ч.т.д.
Пример: Дана функция u = xyz. Найти ее производную в т. Р(5, 1, 2) в направлении, идущем от этой точки к точке Q(7, -1, 3).
Находим частные производные функции u = xyz
,
,
и вычислим их значения в т. Р
,
,
,
то
,
,
Следовательно
Знак минус указывает, что в данном направлении функция убывает.
Если поле плоское,
то направление луча λ вполне определяется
углом α его наклона к оси абсцисс. Формулу
для производной по направлению можно
получить из общей формулы, положив
,
Тогда
Если α = 0, то
,
если
,
то