Задание 3

1. Перевести в десятичную систему счисления с точностью до трех знаков после запятой числа, указанные в таблице 4.

Таблица 4 – Исходные данные к заданию 3

Номер варианта	Основание СС		Номер варианта	Основание СС
	P = 16	P = 2		P = 16	P = 2
0	7C,A	110110,101	5	4B,C	101110,101
1	D0,B	101101,011	6	A0,9	110010,011
2	91,D	100110,010	7	8B,E6	111100,001
3	BA,2	100011,110	8	E7,5	101010,010
4	CA,F	111010,011	9	B9,C	100110,001

2. Перевести в двоичную систему счисления с точностью до трех знаков после запятой числа, указанные в таблице 5.

Таблица 5 – Исходные данные к заданию 3

Номер варианта	Основание СС		Номер варианта		Основание СС
	P = 16	P = 10			P = 16	P = 10
0	2F,AE	56,29		5		39,CA	48,32
1	20,B6	73,19		6		5E,B9	31,62
2	76,E5	67,27		7		07,A4	44,81
3	0C,3E	47,36		8		D0,AB	42,72
4	89,DC	96,82		9		0B,76	25,34

3. Перевести исходные числа (таблица 6) в двоичную систему счисления; выполнить алгебраическое сложение в прямом, обратном и дополнительных кодах, результат представить с точностью до четырех знаков после запятой в прямом коде.

Полученный результат перевести в десятичную систему счисления и сравнить с алгебраической суммой, вычисленной в десятичной системе счисления.

Таблица 6 – Исходные данные к заданию 3

Номер варианта	Десятичные числа		Номер варианта		Десятичные числа
0	-17,15	+15,35		5		+25,85	-30,34
1	-31,45	+26,14		6		+13,15	-14,95
2	-18,16	+15,25		7		+13,76	-18,16
3	-19,21	+16,14		8		+13,63	-17,81
4	+11,25	-16,20		9		+12,42	-13,84

Методические указания по выполнению задания 3

Система счисления – совокупность символов (цифр) и приемов записи (изображения) чисел. Системы делятся на непозиционную (римскую) и позиционные (арабскую).

В позиционной системе счисления значение цифры определяется ее местом (позицией), изображающей число. Номер позиции, определяющий вес единицы на ней, называется разрядом. Основание системы счисления определяет количество используемых цифр или базу.

В общем случае целое число при использовании р-ичной системы можно записать в виде:

.

Наиболее широко применяемые системы:

10-я система: база – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

21₍₁₀₎=2^.10¹+1^.10⁰;

2-я система: база – 0, 1

21₍₁₀₎=1^.2⁴+0^.2³+1^.2²+0^.2¹+1^.2⁰=10101₍₂₎;

16-я система: база – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, А

21₍₁₀₎=1^.16¹+5^.16⁰=15₍₁₆₎.

Рассмотрим пример перевода шестнадцатеричного числа 5F,C83 в десятичную систему счисления:

.

Рассмотрим пример:

Наиболее простым способом перевода десятичного числа в двоичную систему счисления является следующий расчетный метод.

Целую часть числа последовательно делят на два до тех пор, пока целая часть частного от последовательного деления станет равна 0. Результат перевода состоит из цифр остатков, причем последний остаток будет представлять старший разряд в записи целой части двоичного числа.

Дробную часть переводят путем последовательного умножения на два. Результат перевода дробной части получают из цифр целых частей частичных произведений, причем старшим разрядом является первая целая часть.

Целая часть числа переводится точно, дробная – приблизительно. Точность перевода дробной части зависит от числа знаков после запятой.

При переводе целой части числа остатки, получающиеся в результате процесса последовательного деления, представляют цифры … целой части числа в новой системе счисления, записанные цифрами исходной СС. Последний остаток является старшей цифрой переведенного числа.

При переводе дробной части числа правильная дробь в новой системе записывается из целых частей произведений, получающихся при последовательном умножении, причем первая целая часть будет старшей цифрой новой дроби.

При переводе неправильных дробей отдельно преобразуется целая и дробная части, после чего записывается число в новой системе счисления.

Правила арифметики во всех позиционных системах аналогичны. Основной операцией является операция сложения. Вычитание легко сводится к сложению с применением специальных кодов для представления отрицательных чисел.

Обратный код отрицательного числа формируется по следующему правилу: в знаковом разряде сохраняется 1, а во всех остальных разрядах цифры меняются на обратные. Обратное преобразование из обратного кода в прямой производится по тому же правилу.

При использовании обратного кода операция вычитания реализуется как арифметическое сложение положительного числа, представленного в прямом коде, с отрицательным числом, представленным в обратном коде:

Перенос, возникающий из знакового разряда, при использовании обратного кода должен прибавляться в младший разряд суммы.

Результат сложения – отрицательное число и оно будет представлено в обратном коде.

Дополнительный код отрицательного числа образуется из обратного путем увеличения его на единицу младшего разряда. Для перехода от дополнительного кода отрицательного числа к прямому из исходного необходимо вычесть единицу младшего разряда, после чего во всех разрядах, за исключением знакового, заменить цифры на взаимно обратные.

При сложении складываются цифры знаковых разрядов с отбрасыванием возникающего из этого разряда переноса. Алгебраическая сумма является положительным числом и поэтому представлена в прямом коде.

Если сумма есть отрицательное число, оно оказывается представленным в дополнительном коде:

Основное достоинство обратного кода по сравнению с дополнительным состоит в простоте процесса его формирования. Однако скорость вычитания чисел в этом коде несколько ниже, чем в дополнительном.

Прямой, обратный и дополнительный коды положительных чисел совпадают (таблица 7).

Таблица 7 – Прямой, обратный и дополнительный коды положительных чисел

десят. СС	двоич. СС	прямой	обратный	дополнительный
+12(10)	1100	01100	01100	01100
-12(10)	-1100	11100	10011	10100