Лабораторна робота № 4 Визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника

Прилади: маятник, секундомір, лінійка з міліметровими розподілами.

Теоретичні відомості

Прискоренням вільного падіння називається прискорення, що здобувається тілом при вільному падінні. Прискорення вільного падіння змінюється в залежності від географічної широти місця і його висоти над рівнем моря, але за даних умов є величиною постійною для усіх тіл.

Прискорення сили ваги може бути виміряне за методом математичного маятника.

Рис.1

Математичний маятник - це важке тіло значно малих геометричних розмірів, яке підвищене на невагомій і нерозтяжній нитці і здатне коливатися у вертикальній площині під дією сили ваги.

Близькою за властивостями до математичного маятника є важка кулька, яка підвішена на довгій тонкій нитці. На кульку діє сила ваги і сила натягу нитки .

Нехай математичний маятник ОВ (рис.1) відхилений на кут φ від положення рівноваги. Розкладемо силу ваги маятника на дві складові, з котрих одна спрямована уздовж маятника і врівноважується реакцією нитки N, а інша - перпендикулярна нитці. Сила викликає відповідно до другого закону Ньютона прискорення, спрямоване уздовж , і є рушійною силою.

Як видно з рис.1, = mg sinφ. Якщо кут φ досить малий, то sinφ = φ і можна вважати, що = mg φ (1), а , де L – довжина нитки маятника; АВ - довжина хорди. Підставляючи значення φ у рівняння (1), одержимо:

(2)

Якщо врахувати, що рушійна сила і зсув маятника АВ=х спрямовані в протилежні сторони, то (2) варто переписати так:

. (3)

Із виразу (3) бачимо, що у випадку коливань маятника рушійна сила пропорційна зсуву коливань точки і спрямована у бік, зворотній зсуву. Сили, що мають такі властивості, звуться квазіпружними і викликають гармонійні коливання. Таким чином, математичний маятник при малих відхиленнях від положення рівноваги робить гармонійний коливальний рух із частотою W.

Як відомо з теорії гармонійних коливань, ця сила

, (4)

де ω – циклічна частота.

Порівнюючи вирази (3) і (4), можна знайти циклічну частоту і період коливань маятника.

Справді: , звідки ; тому що , де Т – період коливань (час, необхідний для здійснення повного коливання), то , чи

. (5)

Таким чином, період коливань математичного маятника визначається його довжиною і прискоренням сили ваги. Вимірюючи на досвіді період коливань і довжину маятника, можна з (5) знайти прискорення сили ваги . Однак ця формула малопридатна для практичного користування, тому що безпосередній вимір довжини l є складною задачею (у випадку фізичного маятника l є відстань від точки підвісу до центра ваги маятника). Тому знаходять інакше: за допомогою лінійки фіксують положення нижньої точки маятника а₁. Визначають період коливань Т₁, потім змінюють довжину маятника, фіксують положення по лінійці нижньої точки маятника а₂ , знову визначають період коливань Т₂ . Тоді

.

Зведемо рівняння в квадрат:

; .

Віднімемо з першої рівняння друге:

, звідси . (6)

Рис.2

У формулу (6) входить різниця довжин l₁ і l₂ , що дорівнює різниці згаданих вище вимірів по лінійці l₁ - l₂ = a₁ – a₂ і визначення якої не є важкою справою. Таким чином, можна записати:

. (7)