2. Обробка результатів вимірів Типи помилок

Розрізняють помилки: промахи, систематичні, випадкові. Промахи – це помилки, що виникають у результаті недбалості відліку з приладів чи нерозбірливості в записі показань.

Систематичні помилки – це помилки, що виникають через причини, що однаково діють при всіх повторних вимірах; величина цієї помилки однакова у всіх вимірах. Причини, що викликають систематичні помилки, досліджуються в тих розділах фізики, що розробляють методику відповідних вимірів.

Випадкові помилки – це помилки, які викликані різними випадковими причинами, наявність яких неможливо чи дуже важко врахувати. Можна вжити заходи до зменшення випадкових помилок, але цілком уникнути їх неможливо.

Елементи теорії випадкових помилок

Визначення випадкових помилок вивчають в теорії помилок – математичній дисципліні, яка заснована на законах теорії імовірності.

Розглядаючи випадкові помилки як один з видів випадкових подій, німецький математик Гаусс установив закон, за яким розподіляються помилки даного виду вимірів в залежності від своєї величини. Цей закон називається законом нормального розподілу, чи законом Гаусса. На рис. наведена крива, що відповідає цьому закону:

Рис. - величини помилок;

- імовірність появи помилки даної величини, де - число помилок, n – загальне число вимірів.

Крива показує: 1) найбільш імовірні випадкові помилки, близькі до нуля; 2) у міру збільшення помилки імовірність її появи швидко зменшується; помилки, рівні за величиною, але протилежні за знаком, рівноймовірні; 4) у разі вимірів однакової точності найбільш імовірним значенням вимірюваної величини є середнє арифметичне з усіх результатів вимірів.

Зображена крива відповідає теоретичному випадку нескінченно великого числа вимірів n, при якому величини помилок безупинно заповнюють усю область значень .

У випадку реального ряду вимірів число їх у ряді кінцеве, а розподіл дискретний. Недоречно говорити про імовірність появи помилки даної величини, а говорять про імовірність появи помилки, що лежить у межах деякого інтервалу

Інтервал зветься довірчим; P – довірча чи імовірна надійність.

Аналітично закон Гаусса записується так:

,

де - дисперсія розподілу величини .

Із теорії випливає, що при n>30 ; називають генеральною середньоквадратичною помилкою (стандартна помилка окремого виміру),

, де .

При точних вимірах величина σ мала, а при грубих вимірах спостерігається більший розкид результатів і значення σ буде великим.

Обчислення відповідних площин при заданій дають такі результати:

Р	0,08	0,38	0,68	0,95	0,99

У разі звичайних вимірів можна обмежитися Р=0,95. Для вимірів, у яких потрібен високий ступінь надійності, задають Р=0,99.

Обчислення довірчого інтервалу при обмеженому числі вимірів Прямі виміри

В умовах фізичного практикуму важко повторити вимір більший ніж у 2-5 разів. У цьому випадку треба застосовувати методику, розроблену в 1908 році англійським вченим Гасетом (псевдонім Стьюдент). Він довів, що статистичний підхід справедливий з достатнім ступенем точності і при малій кількості вимірів (2 ≤ n ≤ 30).

Для оцінки точності кінцевого числа вимірів замість σ користуються вибірковою середньоквадратичною похибкою середньоарифметичного

.

Довірчий інтервал при цьому виражається в частках і відношення називається коефіцієнтом Стьюдента для різних p і n (див. додаток).

Після проведених n вимірів порядок оцінки помилок прямих вимірів такий. Необхідно:

1) переглянути результати вимірів, відкинути сумнівні;

2) визначити середнє арифметичне , де х_i – результати окремих спостережень;

3) обчислити абсолютні похибки окремих вимірів і їхні квадрати (∆х_i)²;

4) знайти середньоквадратичну похибку середньоарифметичного

;

5) відкинути промахи, для яких ∆х_i >3S ;

6) задати довірчу імовірність Р (у межах від 0,08 до 0,95);

7) з таблиці (див. додаток 1) знайти для даного числа вимірів n і заданої імовірності Р коефіцієнт Стьюдента;

8) обчислити довірчий інтервал ;

9) обчислити відносну похибку вимірів ;

10) записати результат у вигляді при р = 0,95,

.

Числове значення результату виміру повинне закінчуватися цифрою того ж розряду, що і значення .

Якщо дослід проводиться один раз і при повторних вимірах одержуємо той самий результат (це спостерігається при вимірах на менш точних приладах), то випадкові помилки обов'язково є, але вони менші від точності приладу. У цьому випадку діє закон рівномірного розподілу. Довірчий інтервал , де у дорівнює половині ціни найменшого розподілу приладу.

Варто цілком усунути промахи, щоб помилка результату визначалася тільки систематичною помилкою вимірів (систематична помилка вимірів дорівнює половині ціни розподілу приладу). Для цього необхідно зробити таке число вимірів, щоб випадкова помилка результату була незначною в порівнянні з систематичною помилкою. Це не завжди можна здійснити. Часто доводиться враховувати те, що систематична і випадкова похибки рівні. Тоді похибки додають. Якщо випадкова і систематична похибки вимірів відрізняються за величиною, то як ступінь погрішності варто вказувати тільки загальну за величиною похибки. Звідси можна сказати про обмеження одним виміром. При цьому абсолютна похибки одного виміру дорівнює половині ціни розподілу приладу.