Контрольні запитання

1. Що таке стояча хвиля?

2. Умови виникнення стоячих хвиль.

3. Які частоти коливань називаються власними частотами.

4. Як змінюються амплітуди і фази коливань у стоячій хвилі?

5. Як підрахувати лінійну щільність струни?

6. Які механічні хвилі можуть виникнути у пружному тілі?

7. Від чого залежить фазова швидкість поширення поперечних хвиль у пружному тілі?

Лабораторна робота № 10 Визначення прискорення вільного падіння за допомогою оборотного маятника (метод Бесселя) Теоретичні відомості

Фізичним маятником зветься тіло, здатне робити вільні коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр ваги тіла.

Частковим варіантом фізичного маятника є оборотний маятник, що являє собою циліндричний стрижень, на якому закріплені опори О₁, О₂ у вигляді тригранних призм (рис. 1,б). Відстань між призмами постійна і дорівнює l = а₁ + а₂ (довжина маятника).

На стрижні закріплене нерухоме тіло (m₂) у формі чечевиці і вантаж, що може переміщатися уздовж шкали (ОС) (див. рис. 1,б). Обчислимо період коливань фізичного маятника (рис. 1,а).

Рис.1а Рис. 1.б

Сила повертає маятник у положення рівноваги.

(1)

Для невеликих кутів sin φ = φ. Тоді

. (2)

Знак « - » показує, що сила спрямована у бік, протилежний зсуву. На фізичний маятник діє момент сили

, (3)

де а = ОС – відстань від осі обертання до центра ваги маятника. Основне рівняння динаміки обертального руху для фізичного маятника

, (4)

де I – момент інерції маятника щодо осі О,

, (5)

кутове прискорення маятника.

Підставимо формули (3) і (5) у (4), одержимо

. (6)

Перетворимо

. (7)

Позначивши

, (8)

де ω₀ – частота власних коливань фізичного маятника, одержимо однорідне диференціальне рівняння другого порядку

. (9)

Рішенням рівняння (9) буде гармонійна функція

, чи

тобто фізичний маятник під дією квазіпружньої сили f_τ робить гармонійні коливання.

Із формули (8) можна визначити період коливань фізичного маятника, знаючи, що :

, , (10)

де

- приведена довжина фізичного маятника. (11)

За теоремою Гюйгенса – Штейнера

I = I₀ + ma², (12)

де I₀ – момент інерції фізичного маятника щодо осі, що проходить через центр ваги С; m – маса маятника; а – відстань від центра ваги С до осі обертання О.

Підставимо формулу (12) у формулу (10), тоді

. (13)

Виміри й обробка результатів

Маятник підвісити так, щоб вісь обертання проходила біля верхнього кінця маятника, а рухливу чечевицю В спочатку встановити біля розподілу на шкалі, що відповідає 7 см. Відхилити маятник від положення рівноваги і дати йому можливість коливатися. Приступити до вимірів можна лише тоді, коли коливання стануть стійкими з амплітудою порядку 4...5⁰.

Вимірити секундоміром час t₁, протягом якого відбувається 50 повних коливань, визначити період одного коливання Т₁ з точністю до сотих часток секунд. Вимір Т₁ зробити для різних положень α чечевиці В, переміщуючи її в межах від 7 до 12 см через 1 см. Результати вимірів занести до табл.1.

Таблиця 1

№	α, см	N	t, c	T, c
	7 12 7 12	50 50

Після цього вісь обертання маятника змінити: підвісити маятник на іншій опорній призмі О₂. Провести аналогічні виміри періодів Т₂ коливань, також переміщаючи чечевицю В у межах від 7 до 12 см, обмірювані величини занести до табл.1.

Знаючи α_i і відповідні Т_i, будують криву Т = f (α), відкладаючи по осі ординат Т_i, а по осі абсцис α_i. Отримані дані представити на одному графіку у вигляді двох кривих, точка перетинання яких визначає місцезнаходження рухливої чечевиці, що дає найбільш близькі один до одного значення періодів. Потім закріпити чечевицю Д у знайденому положенні та найбільш старанно вимірити періоди коливань Т₁ і Т₂ - відповідно в прямому і переверненому положенні маятника по три рази. Для цього визначити час 50 коливань маятника, обчислюючи потім період одного повного коливання. Для визначення величин α₁ і α₂, маятник знімають і, не зміщуючи призм і чечевиці, кладуть стрижнем на гостру грань спеціальної підставки для знаходження центра ваги G. Маятник врівноважують і лінійкою з точністю до 1 мм вимірюють відстань від центру ваги G до опорних призм, тобто величини α₁, α_2.

Якщо фізичний маятник підвішений спочатку на відстані α₁ від центру ваги G , а потім на відстані α₂, то відповідні періоди коливань його:

; (14)

. (15)

З формул (4) і (5) виключимо I₀ і визначим прискорення вільного падіння g:

;

;

;

;

;

. (16)

За отриманими даними, користуючись формулою Бесселя, обчислимо прискорення вільного падіння. Щоб одержати рівняння, дане Бесселем, необхідно проробити деякі перетворення у формулі (16). Помножимо чисельник і знаменник правої частини на величину 2(Т₁² + Т₂²) і перепишемо вираз (16):

. (17)

Потім перетворимо знаменник 2-го співмножника

Тоді формула (17) буде мати такий вигляд:

,

. (18)

Останнє рівняння отримало назву формули Бесселя. Воно дозволяє визначити величину g при двох близьких значеннях періодів Т₁ і Т₂, скориставшись принципом оборотності точки підвісу і центру хитань і знаючи при цьому приведену довжину маятника. Вимір приведеної довжини (вимір відстані) можна вести з набагато більшою точністю, ніж визначення моменту інерції. Тому для точних вимірів g завжди користуються оборотним маятником. Дані вимірів занести у табл. 2.

Таблиця 2

а1, м

а2, м

t1, с

n1

Т1, с

t2, с

n2

Т2, с

g, м/с2

Δgi, м/с2

(Δgi)2, м/с2

S(g)2, м/с2

Eg, м/с2

σ %

1 2 3