Потенциальная энергия деформации
Рассмотрим процесс
деформирования упруго тела с энергетической
точки зрения. Внешние силы, приложенные
к упругому телу, совершают работу —
.
В результате этой работы накапливается
потенциальная энергия —
.
Также работа идет на сообщение скорости
массе тела, т.е. кинетической энергии
.
.
Если скорость неограниченно мала, т.е. процесс статический, то
.
Поскольку на пути
сила меняется от
до
(рис. 2.5), то работа должна быть определена
интегрированием по элементарным участкам
пути.
Рис. 2.5
На элементарном
пути
работа текущей силы
равна
.
Очевидно, работа
на перемещение
численно равна площади заштрихованного
треугольника, т.е.
,
но
,
тогда
.
Подставляя вместо внешней силы , равной ей внутреннюю силу получим:
,
(2.9)
если
,
то
.
(2.9’)
Анализ напряженного состояния при растяжении (сжатии)
Возьмем растянутый
брус (рис. 2.6,а). Из него вырежем
параллелепипед с гранями
.
На гранях этого параллелепипеда будет
действовать только нормальное напряжение
—
.
Такое напряженное состояние называется
растяжением.
а) б)
Рис. 2.6
Рассечем параллелепипед наклонной плоскостью и рассмотрим равновесие одной из частей (рис. 2.6,б). Разложим вектор полного напряжения
После сокращения
получим
.
(2.10)
,
т.к.
.
(2.11)
Из этих формул
видно, что нормальные напряжения имеют
максимальное значение при
,
,
а касательное напряжение в поперечных
сечениях отсутствует. Касательные
напряжения имеют максимальные значения
при
.
Статически определимые и статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии
Задача называется статически определимой, если все опорные реакции, а также внутренние силовые факторы в любом сечении, можно определить только с помощью уравнений статики.
Статически неопределимые называются задачи, которые нельзя решить с помощью только уравнений статики. Дополнительные уравнения составляются из рассмотрения деформаций системы.
Назовем степенью статической неопределенности разность между числом неизвестных и числом независимых уравнений статики, которые можно составить для данной задачи.
.
(2.12)
Рис. 2.7
На рис. 2.7 представлены
системы: а) статически определимая, б)
один раз статически неопределима
,
в) два раза статически неопределима
.
Покажем другие системы (рис. 2.8, 2.9).
Рис. 2.8 Рис. 2.9
На данные системы наложены по одной “лишней” связи, т.е. они являются один раз статически неопределимыми.