Расчетное задание № 2 Синтез рекурсивных цифровых фильтров [фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (бих-фильтров)]
-
Разделы задания:
1. Введение
Проектирование БИХ-фильтра
Заключение с выводами
Перечень используемой литературы
Задача проектирования БИХ-фильтра по заданным требованиям к частотным характеристикам включает этапы:
Решение аппроксимационной задачи (определение коэффициентов передаточной функции фильтра по заданным требованиям к частотным характеристикам);
Построение схемы РЦФ.
Учет эффектов конечной разрядности.
I. Решение аппроксимационной задачи.
На этапе решения аппроксимационной задачи определяется передаточная функция H(z) фильтр, воспроизводящая заданную АЧХ А() с требуемой точностью (Ап – допуск на максимальное значение неравномерности АЧХ в полосе пропускания; Аз – допуск на максимальное отклонение АЧХ от нуля в полосе задерживания).
Исходными данными являются граничные частоты полос пропускания и задерживания (fг.п, fг.з) частота дискретизации (fА), а также величин АП и АЗ.
В качестве исходных данных при решении аппроксимационной задачи могут задаваться не требования к АЧХ А(), а требования к характеристике затухания а() [а()=-20 lgA()]. В этом случае исходные данные: а – верхняя граница рабочего затухания в полосе пропускания; а0 – нижняя граница затухания в полосе задерживания. [а=-20 lg(1-Aп); a0==-20 lg(Aз)].
Для расчета избирательных БИХ-фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) наиболее используется косвенный метод синтеза фильтров – метод билинейного преобразования (передаточная функция T(s) аналогового фильтра прототипа преобразуется в передаточную функцию H(z) цифрового БИХ-фильтра). Достоинством метода билинейного преобразования по сравнению с другими методами преобразования аналогового фильтров в цифровые является то, что данный метод обеспечивает построение данного БИХ-фильтра, выходной сигнал которого приближенно совпадает с выходным сигналом аналогового фильтра – прототипа при одинаковых произвольных входных сигналах.
В результате решения аппроксимационной задачи определяется передаточная функция T(s) аналогового фильтра, АЧХ А() которого приближается к определенной идеальной характеристике нормированного фильтра (Баттерворта, Чебышева, инверсного Чебышева, Золотарева-Кауэра).
Фильтр Баттерворта (тип В).
Передаточная функция
АЧХ монотонно убывает при увеличении , затухание монотонно возрастает.
Фильтр Чебышева (тип Т)
Передаточная функция
АЧХ равноволновая в полосе пропускания, монотонно убывающая в полосе задерживания.
Инверсные фильтры Чебышева (тип I)
П ередаточная функция
АЧХ равноволновая в полосе задерживания и монотонно убывающая в полосе пропускания.
Фильтры Золотарева-Кауэра (тип С)
П ередаточная функция
АЧХ равноволновая в полосах пропускания и задерживания.
Алгоритм определения передаточной функции цифрового фильтра H(z) состоит из этапов:
Расчет нормированных “граничных частот”:
Расчет параметра преобразования (таблица 1).
Таблица 1
Цифровой фильтр
|
Граничные цифровые частоты |
Формула замены |
Параметр |
Связь “аналоговых” частот с “цифровыми частотами” |
Граничные “аналоговые ” частоты |
Нижних частот (ФНЧ) |
|
|
|
|
|
Верхних частот (ФВН) |
|
|
|
|
|
Полосовой (ПФ) |
|
|
|
|
|
Режекторный (РФ) |
|
|
|
|
|
Нахождение граничной “аналоговой” частоты k полосы задерживания аналогового фильтра-прототипа (таблица 1).
Определение передаточной функции T(s) аналогового нормированного фильтра-прототипа необходимого диапазона частот требуемого типа (В, Т, I и С):
Определение модуля коэффициента отражения |р| (таблица 2).
Таблица 2.
-
5
10
15
25
50
Δa, дБ
0,011
0,044
0,10
0,28
1,25
Определение вспомогательного параметра L по общей номограмме рис.1.
Рис.1
Определение порядка n передаточной функции по номограмме для соответствующего типа фильтра (рис.2 (В); рис.3 (Т,I); рис.4 (С)).
Рис.2 Рис.3 Рис.4
Запись передаточной функции T(s) в общем виде в зависимости от типа выбранного фильтра (см. стр.1,2).
Определение численных значений коэффициентов T(s) из таблиц с учетом величин n, |p| и k.
Для В-фильтра.
Таблица 3.
-
5
0,05006262
3,1602993306
3,1602993305
10
0,10050378
2,2304567213
2,2304567213
15
0,15171652
1,8253842510
1,8153842509
25
0,25819889
1,3915788419
1,3915788418
50
0,57735027
0,9306048582
0,9306048582
-
5
0,05006262
2,7132854279
1,3566427140
2,3497741083
10
0,10050378
2,1508388528
1,0754144564
1,8626724257
15
0,15171652
1,8749471964
0,9374735982
1,6237519029
25
0,25819889
1,5704178025
1,7852089012
1,3600217115
50
0,57735027
1,2009369490
0,6004684745
1,0400419062
-
5
0,05006262
1
0,8090237244
1,9531560473
2
1,9521560478
0,8090237244
10
0,10050378
1
0,6796636758
1,6408532638
2
1,6408532639
0,6796636757
15
0,15171652
1
0,61317076610
1,4803251816
2
1,4803251816
0,6131707669
25
0,25819889
1
0,5368476642
1,29606449118
2
1,2960649118
0,5368476642
50
0,57735027
1
0,4390154585
1,0598770740
2
1,05987770740
0,4390154585
Для Т-фильтра.
Таблица 4.
-
5
0,10012523
2,1794494718
2,2912878475
10
0,20100756
1,5000000135
1,6583124073
15
0,30343304
1,1902380715
1,3844373105
25
0,51639778
0,8660254040
1,1180339888
50
1,1547005
0,5000000000
0,8668254038
-
5
0,20025047
1,5633880273
0,7816940137
0,6073139226
10
0,40201513
1,1717182911
0,5858591455
1,3340512791
15
0,60686608
0,9721338860
0,4860669430
1,2078009850
25
1,0327956
0,7433421107
0,3716710553
1,0790820730
50
2,3094011
0,4532218472
0,2266109236
0,9508194004
-
5
0,40050094
1
0,4050275555
0,1352476518
2
0,9778230177
0,5572198221
10
0,80403025
1
0,3138479999
101948459178
2
0,7576960978
0,4949213841
15
1,2137322
1
0,2648393341
1,1235472968
2
0,6393787122
0,4653885283
25
2,0655911
1
0,2062835572
1,0495570027
2
0,4980125615
0,4347407450
50
4,6188022
1
0,1282831330
0,9744071347
2
0,3097028796
0,4036126504
Для С, I-фильтров.
Таблица 5.
-
20
9,9498744
0,2999999979
0,3316624761
30
31,606961
0,1749936473
0,1806177638
40
99,995000
0,0994987438
0,1004987563
50
316,22618
0,0561451481
0,0563229769
60
999,99950
0,0316069613
0,0316385840
-
20
3,3166248
0,8534474605
0,2759680580
0,6284028227
30
10,535654
0,5357797764
0,2204319884
0,4331463280
40
33,331667
0,3522995078
0,1611490043
0,2959331482
50
105,40873
0,2362045985
0,1133588591
0,2017462184
60
333,33317
0,1597464581
0,0783732283
0,1374675538
-
20
9,9498744
1
0,205649009
0,7829113624
2
0,9250907591
0,6042623160
30
31,606961
1
0,1987869166
0,6179848097
2
0,6836285132
0,3646353758
40
99,995000
1
0,1711601220
0,4761022471
2
0,504370363
0,2407904870
50
316,22618
1
0,1385417716
0,36217033184
2
0,3742614213
0,1678633206
60
999,99950
1
0,1084075374
0,2736910807
2
0,2788032187
0,120766853
Запись передаточной функции аналогового нормированного фильтра с численными значениями коэффициентов.
Расчет АЧХ и затухания аналогового фильтра по программе 1.