2.Определение точности оценки для моделей множественной регрессии.

1Стандартная (среднеквадратическая) ошибка оценки или ошибка регрессии:

,

(6)

где – фактическое и расчетное (трендовое) значения показателей в ряду динамики;

n - z – число степеней свободы, зависящее от n – числа наблюдений и z – числа оцениваемых параметров.

Измеряет близость оцененных величин к фактическим данным: чем точнее подобрано регрессионное уравнение, тем ближе s_y^{^} к нулю.

1. Коэффициент множественной корреляции:

.

(7)

Измеряет комплексное влияние нескольких факторов на изменения зависимой переменной: чем ближе R к единице, тем это влияние сильнее.

2. Коэффициент детерминации R² является более точным измерителем влияния факторов на зависимую переменную. Он характеризует математически установленную долю вариации зависимой переменной, которая объясняется влиянием изучаемых факторов.

Аналогично, близость R² к единице указывает на существенное влияние независимых факторов на y.

3. Оценка значимости (адекватности) регрессии позволяет установить, насколько уравнение регрессии удовлетворительно описывает исходные данные. Осуществляется по критерию Фишера F(a, b) с параметрами:

a - число независимых факторов в уравнении регрессии;

b = n-z - число степеней свободы,

где n - длина ряда;

z - число параметров в уравнении регрессии.

Расчетное значение F-критерия сравнивается с табличным:

• если , уравнение адекватно описывает зависимость у от х;

если , уравнение неадекватно описывает зависимость у от х, и его следует откорректировать.

Пример. Пусть имеется F(3, 10). Следовательно, регрессионное уравнение содержит 3 независимых фактора: и построено для ряда длиной n=14.

4. Ошибка коэффициентов используется для проверки существенности отличия от нуля регрессионных коэффициентов b_i и определения доверительных интервалов параметров x_i.

Расчет ошибки для i-го коэффициента:

, i = 1,…, m,

(8)

где s² – ошибка регрессии;

b_i – регрессионный коэффициент для i-го фактора.

Проверка существенности коэффициента осуществляется по t-критерию:

, i = 1,…, m.

(9)

Расчетное значение t-критерия сравнивается с табличным для числа степеней свободы n - z:

• если , коэффициент является существенным;

если , коэффициент не является существенным, и его следует исключить из уравнения регрессии.

5. Оценка доверительного интервала регрессии

Доверительный интервал прогноза значения y с использованием уравнения регрессии определяется по формуле

,

(10)

где - прогнозное значение показателя на период L;

- значение критерия Стьюдента с уровнем значимости a;

- среднеквадратическая ошибка регрессии.

6. Оценка доверительных интервалов регрессионных коэффициентов осуществляется по формуле

,

(11)

где b_i – регрессионный коэффициент для i–го фактора;

– значение критерия Стьюдента с уровнем значимости a;

– среднеквадратическая ошибка для i-го коэффициента.

Основной недостаток множественной линейной регрессии: изменение зависимой переменной происходит равномерно, т.е. добавление каждой дополнительной единицы любого фактора х увеличивает y на одну и ту же величину. В этом случае изменение зависимой переменной постоянно во времени (рис. 2).

y_t

0 x_i(t)

Рисунок 2 – Изменение зависимой переменной линейной регрессии

Критерии точности оценки множественной нелинейной регрессии

1. Функция потерь – сумма квадратов отклонений подбираемой функции от наблюдаемых значений:

.

(12)

Чем меньше значение функции потерь, тем точнее подобрано уравнение нелинейной регрессии.

2. Индекс множественной корреляции I соответствует коэффициенту множественной корреляции, но применяется тогда, когда оценки основываются на криволинейной регрессии.

3. Индекс множественной детерминации I² соответствует коэффициенту множественной детерминации, если применяется модель криволинейной регрессии.

4. Ошибки регрессионных коэффициентов имеют тот же смысл, что и в модели множественной линейной регрессии.