Регулятор

(сравнение y(t) и y₀

С учетом w(t))

y(t) w(t)

Измерительный блок 1

Измерительный блок 2

-( y+w(t))

Исполнительный блок

СУ

y(t) x_s(t) + x_v

ОУ

w(t)

y(t)

В этом случае программа управления не рассчитывается заранее, а определяется поведением наблюдаемого объекта. СУ учитывает, измеряет возмущающие воздействия и компенсирует их регулятором.

Преимущества регулирования по возмущению: повышение эффективности управления не только за счет учета внутреннего состояния ОУ, но и оценки влияния внешней среды.

Недостатки регулирования по возмущению:

еще более сложная алгоритмическая и программная реализация.

Тема 2.1. Детерминированные модели.

Лекция 6. Детерминированные модели

1. Принципы построения моделей множественной линейной и нелинейной регрессии.

Уравнение тренда позволяет оценить закономерность изменения определенного макроэкономического показателя во времени и спрогнозировать его значение на будущее. Однако на динамику макропоказателя оказывает влияние множество различных факторов. Для прогнозирования воздействия этих факторов на исследуемый показатель требуется построить модель множественной регрессии.

В простейшем случае такой моделью является линейная множественная регрессия, выраженная уравнением

, t=1,…,n

(1)

отклонение

тренд от тренда

где – зависимая переменная;

– независимые переменные (факторы);

– неизвестные параметры (коэффициенты);

– случайная ошибка (остаток);

п – число наблюдений.

Пример. Допустим, зависимая переменная – реальный национальный доход, а независимые – величина налогов, размер трансфертов, уровень цен, занятости.

Уравнение (1) называют также динамической факторной моделью.

Каждый коэффициент b_i показывает среднее увеличение зависимой переменной y (например, национального дохода) на единицу прироста фактора i при неизменных значениях остальных n-1 факторов. Параметр b₀ характеризует вклад неучтенных (экзогенных) факторов в величину зависимой переменной у.

Величина коэффициентов b_i зависит от единиц измерения, в которых выражается каждый фактор. Для большей сравнимости регрессионных коэффициентов используют стандартизированные регрессионные коэффициенты b_i.

Связь между бета-коэффициентом и коэффициентом регрессии такова:

,

(2)

где s_x – среднеквадратическое отклонение фактора х_i;

s_y – среднеквадратическое отклонение зависимой переменной у.

Формулы расчета среднеквадратических отклонений:

, .

(3)

Коэффициент b_i характеризует величину регрессионного коэффициента i-го фактора не в единицах измерения этого фактора, а в относительных единицах (единицах среднеквадратического отклонения).

Использование b-коэффициентов желательно в тех случаях, когда имеются большие различия в среднеквадратических отклонениях.

Оценка неизвестных коэффициентов в модели (2) обычно осуществляется по методу наименьших квадратов. При этом расчетные значения коэффициентов всегда отличаются от их истинных величин из генеральной совокупности. Для оценки точности расчета используется ряд статистических характеристик.

Ограничение анализа линейной зависимостью при применении множественной регрессии может серьезно снизить ценность этого анализа для ряда задач или даже совсем исключить возможность его использования.

Пример. При оценке влияния роста работающего населения и инвестиций в ОПФ на повышение производительности общественного труда существует предельная (оптимальная) точка роста производительности по отношению к этим факторам. Если увеличение числа работающих и количества оборудования будет происходить и далее, то производительность начнет падать.

Следовательно, для выражения такой функциональной зависимости, когда изменение результирующей переменной само изменяется с течением времени (рис.1), линейная регрессия непригодна.

y_t

0 x_t(t)

Рисунок 1 – Изменение зависимой переменной нелинейной регрессии

Множественная нелинейная (криволинейная) регрессия описывает такую функциональную зависимость, когда изменение зависимой переменной не постоянно во времени (например, каждое последующее увеличение числа работающих на 1 тыс. чел. уменьшает прирост производительности общественного труда (она растет, но темпы ее роста падают)).

В общем виде модель нелинейной множественной регрессии такова:

, t=1,…, n,

(4)

где b^' – свободный член;

– функция, характеризующая изменение y при изменении фактора х_i (может быть линейной или нелинейной);

– случайная ошибка (остаток);

п – число наблюдений.

Функция представляет собой отдельную (частную) линию регрессии. Каждая частная линия регрессии может быть определена заранее (визуально или математически). При этом рассматривается влияние только одного фактора x_i на зависимую переменную y, а остальные n-1 факторов фиксированы.

Пример. Если предположить, что зависимости между экономическим показателем и двумя независимыми факторами выражаются параболами 2-й степени, модель нелинейной множественной регрессии примет вид:

+ et , t=1,…, n.

(5)

Оценивание параметров в уравнении нелинейной регрессии осуществляется с помощью нелинейного метода наименьших квадратов (НМНК). Решение системы нелинейных уравнений в НМНК осуществляется с помощью итеративных процедур.