1.1.10. Рівномірна неперервність фбз

Нагадаємо, що неперервність функції у певній точці множини М, де функцію задано, ми сформулювали так: для будь-якого має існувати таке що нерівність

виконується для будь-якої точки  М, яка перебуває в -околі точки

Нехай функція неперервна в усій множині М. Тоді постає запитання: чи можна за даним знайти таке яке годилося б — у зазначеному розумінні — для всіх точок з М одночасно? Якщо це можливо (при будь-якому ), тоді говорять, що функція в М рівномірно неперервна.

Теорема 1.14. Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона й рівномірно неперервна в D.

Доведення (від супротивного). Припустимо, що для деякого числа не існує числа яке годилося б одночасно для всіх точок області .

Візьмемо послідовність додатних чисел, що прямує до нуля:

Оскільки жодне з чисел не може годитися — у зазначеному розумінні — одночасно для всіх точок області D, то для кожного знайдеться в D така конкретна точка для якої не годиться. Це означає, що в D існує точка така, що виконуються нерівності

, ,

а водночас і нерівність

. (10)

З обмеженої послідовності точок , за теоремою Больцано—Вейєрштрасса, вилучимо таку частинну послідовність , що , , причому гранична точка необхідно належить області D (згідно з її замкненістю).