5.Хвилі

5.1. Хвильові процеси

У середовищі частинки зв’язані між собою силами взаємодії. Періодичне невелике зміщення деякої частинки середовища з положення рівноваги викликає зміщення сусідніх частино, тобто коливання одної з таких частинок викликає вимушені коливання інших. Процес розповсюдження коливань в середовищі із деякою швидкістю V називається хвилею. Якщо зміщення частинок  від положення рівноваги перпендикулярне швидкості V, то така хвиля називається поперечною, а якщо  паралельне V  хвиля повздовжня. Швидкість хвилі залежить від сили взаємодії між частинками середовища - чим більша сила взаємодії, тим більша швидкість хвилі. Для твердого тіла

V= ,

де Е  модуль Юнга,   густина речовини. Для повітря (газу)

V= = ,

де   стала адіабати, R  універсальна газова стала, Т  температура,   маса моля речовини,   густина повітря (газу), Р  тиск газу.

Наведемо деякі визначення характеристик хвильового процесу.

1. Хвильовий фронт  геометричне місце точок середовища, до яких дійшли коливання.

2. Плоскою називається хвиля, у якої хвильовий фронт є нескінченною площиною.

3. Сферичною називається хвиля, у якої хвильовий фронт є сферою.

4. Циліндричною називається хвиля, у якої хвильовий фронт обмежений скінченою площиною.

5. Промінь  уявна крива, дотична до якої визначає напрямок розповсюдження коливань.

5.2. Рівняння хвилі, фаза та фазова швидкість

Р івняння хвилі, що розповсюджується в додатному напрямкові Ох, описує величину відхилення y матеріальної точки від положення рівноваги, з координатою х в момент часу t і має вигляд

. (1)

Дійсно, нехай джерело коливань розміщено в початку координат, і коливання розповсюджуються в додатному напрямкові осі ОХ із швидкістю (див.Ма.41). В точку з координатою х коливання прийдуть із запізненням на час розповсюдження , і тому рівняння коливання в цій точці в час t запишеться так

(2)

або

. (3)

Остаточно рівняння хвилі запишеться у вигляді

, (4)

де  хвильове число.

В (4) косинус є періодичною функцією з періодом , а тому можна визначити її період по координаті х

. (5)

За визначенням довжина хвилі  відстань, на яку поширюється хвиля за період коливань Т: =VT. З (4) видно, що довжина хвилі є періодом просторового розподілу коливань частинок середовища.

Якщо коливання розповсюджуються в зворотному напрямі, то х замінюємо на -х і рівняння зворотної хвилі має вигляд

. (6)

Величина в (4) називається фазою хвилі, а - початкова фаза. Зафіксуємо величину фази на рівні сталої С

. (7)

Візьмемо диференціал від лівої та правої частини (7)

. (8)

З (8) можна визначити величину

, (9)

яка називається швидкістю розповсюдження фази коливань або фазовою швидкістю і вона за величиною дорівнює швидкості хвилі.

5.3. Плоска хвиля

Рівняння плоскої хвилі має вигляд:

, (1)

де  хвильовий вектор,  хвильове число,  одиничний вектор нормалі до хвильового фронту.

Дійсно, нехай джерелом коливань є нескінченно велика площина 1 (див. Мал. 42) із нормаллю , що є хвильовим фронтом плоскої хвилі. Площина проходить через початок координат. Нехай рівняння коливання точок в площині 1 має вигляд

=Acos(t+). (2)

Через час t' площина 1 переміститься на відстань d і займе положення 2. Відстань між площинами визначається скалярним добутком , де  радіус-вектор деякої точки А на площині. Коливання в цій площині запізнюються на час і будуть мати вигляд

 = Acos(t - t' + ) = Acos(t -  + ) = Acos(t - kd + ). (3)

Т епер, позначивши , можна записати:

, (4)

що й треба було довести.

Сферична хвиля. Рівняння сферичної хвилі має вигляд

y= cos(t-kr). (5)

Амплітуда сферичної хвилі зменшується обернено пропорційно відстані r від джерела хвиль, а енергія обернено пропорційна квадратові відстані.

Циліндрична хвиля. Циліндрична хвиля описується рівнянням плоскої хвилі з обмеженим деякою плоскою поверхнею хвильовим фронтом.

С пектр частот хвиль. Під частотним спектром хвилі розуміють сукупність частот, якими можна представити дану хвилю.

Хвиля з неперервним спектром частот  хвиля, що містить значення частоти коливань в деякому неперервному інтервалі частот від ₁ до ₂ (див. Мал.43).

Хвиля з лінійчатим спектром частот  хвиля, що містить коливання дискретних значень частоти (див. Мал.44).