5.4 Электрон в кристалле как квазичастица

5.4.1 Движение электрона в электрическом и магнитном полях

Энергия свободного электрона определяется соотношением:

, (5.24)

импульс свободного электрона равен:

. (5.25)

Рассмотрим почти свободные электроны в кристалле. В области малых значений k свойства электронов практически не отличаются от свойств свободных электронов. Свойства электронов в кристалле можно описывать свойствами свободных электронов. Для электрона в кристалле импульс называется квазиимпульсом. Действие внешней силы приводит к изменению квазиимпульса:

, (5.26)

или

. (5.27)

Групповая скорость электронов в кристалле определяется формулой:

. (5.28)

Учет соотношения неопределенности , позволяет записать .

Тогда:

, (5.29)

или

. (5.30)

Получен аналог второго закона Ньютона:

. (5.31)

Величину называются эффективной массой электрона в кристалле. Для свободного электрона . Эффективная масса электрона в кристалле не определяет ни инерционных, ни гравитационных его свойств. Введение этой величины дает возможность, учитывая сложный характер взаимодействия электрона с кристаллической решеткой при его движении под действием силы внешнего электрического поля ( ), пользоваться привычными формулами, считая электрон свободным. Эффективная масса электрона в кристалле зависит от направления движения электрона и от его состояния (положения электрона в энергетической зоне).

Зависимость от направления движения электрона объясняется анизотропией кристалла: при движении электрона силы взаимодействия его с кристаллической решеткой различны в разных кристаллографических направлениях.

Пусть в начальный момент времени электрон находится в состоянии с минимальной энергией. Под действием внешней силы энергия E возрастает в соответствии с зависимостью приведенной на рисунке 5.9 а.

Рисунок 5.9 – Вид зависимостей, описывающих состояние электрона в кристалле

На участке ОВ (см. рис. 5.9.б) скорость электрона возрастает, т.е. . В т. В наблюдается экстремум скорости, тогда . На участке ВА скорость электрона уменьшается, т.е В точке А скорость обращается в нуль и меняет свое направление; это означает, что электрон оказывается в точке, эквивалентной точке А'. На участке А'В' модуль скорости возрастает, т.е. . В точке В' а=0, а на участке В'О происходит уменьшение скорости, т.е. . У потолка зоны эффективная масса отрицательна, т.к. (см. рис. 5.9.в) .

У дна любой зоны эффективная масса электрона мало отличается от массы свободного электрона. Однако электрон в кристалле не является свободной частицей; его свойства принципиально отличаются от свойств свободного электрона. Однако с введением понятий квазиимпульса и эффективной массы можно использовать те понятия и формулы, которые применяются для свободных частиц.

Квазиимпульс отличается от импульса свободного электрона следующими особенностями:

1. дискретность;

2. значения квазиимпульса ограничены размерами первой зоны Бриллюэна;

3. квазиимпульс является интегралом движения.

5.4.2 Понятие о дырках

В полупроводниках и диэлектриках при температуре абсолютного нуля валентные зоны заполнены, а зона проводимости полностью пустая. С ростом температуры (см. рис. 5.10) возможны тепловые забросы электронов из валентной зоны в зону проводимости (переход зона-зона):

Рисунок 5.10 – Заполнение валентной зоны и зоны проводимости полупроводника при абсолютном нуле

В валентной зоне образуется свободное состояние, которое занимает электрон из валентной зоны. Т.к. эффективная масса электрона у потолка зоны отрицательна, то электрон будет вести себя, как если бы он имел положительный заряд. Поэтому при описании движения электрона в верхней части энергетической зоны целесообразно рассматривать в качестве свободного носителя заряда дырку – частицу с положительной массой и положительным зарядом, равным по абсолютной величине заряду электрона. Дырка является квазичастицей. В результате перехода зона-зона образовались две квазичастицы – электрон и дырка с положительными эффективными массами, причем m^* ≈ m. В таком кристалле электрический ток создается благодаря дрейфу электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне в противоположных направлениях.

5.4.3 Определение эффективной массы электрона

Эффективную массу электрона можно измерить экспериментально. Если поместить кристалл в однородное магнитное поле , то все свободные носители заряда (электроны и дырки) будут двигаться в общем случае по винтовой линии, ось которой параллельна вектору . Согласно второму закону Ньютона, можно записать:

, (5.32)

где ;

r – радиус винтовой линии;

- составляющая скорости электрона, перпендикулярная .

Тогда

, (5.33)

или

. (5.34)

Частота называется циклотронной частотой. Если теперь на кристалл перпендикулярно постоянному магнитному полю направить электромагнитную волну, то при частоте волны, равной циклотронной частоте , свободные носители заряда резонансно поглощают энергию электромагнитной волны, возникает циклотронный резонанс. При этом скорость свободных носителей заряда увеличивается, а частота  не меняется. Измеряя частоту поглощения электромагнитной волны и определяя циклотронную частоту , можно вычислить эффективную массу носителя заряда. При циклотронном резонансе разница поведения электронов и дырок состоит в том, что при одних и тех же направлениях скорости и постоянного магнитного поля вращаться они будут в разные стороны. Изменяя направление постоянного магнитного поля и соответственно направление электромагнитной волны, можно определить эффективную массу свободных носителей в различных кристаллографических направлениях. В таблице 5.1 приведены некоторые значения эффективных масс (здесь m – масса электрона).

Таблица 5.1 - Значения эффективных масс свободных носителей для различных полупроводников

Полупроводник
Антимонид индия	0,18m	0,015m
Германий	0,59m	0,56m
Кремний	0,37m	1,08m