Упражнение 3.19.
Найти смешанное
произведение векторов
,
где векторы
и
перемножаются векторно, а их результат
на вектор
скалярно, см формулу (10). Затем найти
смешанное произведение по формуле
(16).Проверить свойства (11) и (12) смешанного
произведения по формуле (10).
>> a=[-1,-4,5];
>> b=[4,-3,4];
>> c=[5,0,1];
>> f=sum(cross(b,c).*a)
f =14
>> d=[a',b',c']
d =
-1 4 5
-4 -3 0
5 4 1
>> det(d)
ans =14.0000
>> f=sum(cross(a,b).*c)
f =14
>> f=sum(cross(c,a).*b)
f =14
>> f=sum(cross(b,a).*c)
f =-14
>> f=sum(cross(c,b).*a)
f =-14
Упражнение 3.20.
С помощью смешанного
произведения доказать, что векторы
,
и
некомпланарны, определить ориентацию
этой тройки. Ответьте на вопрос: как
связано понятие компланарность с
понятиями базис и линейная зависимость
для этих векторов. Построить эти векторы.
Вектор
изобразить синим, вектор
зеленым, вектор
красным.
>> a=[1, -2, 0];b=[0, 1, 1];
>> c=[1, 2, 2];
>> A=[a;b;c]
A =
1 -2 0
0 1 1
1 2 2
>> det(A)
ans =-2 – ans<0 значит a,b,c – некомпланарны, причем это левая тройка.
Управление 3.21.
Исследовать с помощью смешанного произведения векторы на компланарность , векторы -некомпланарны, их смешанное произведение равно +1.
A) , и ,
>> syms a b c
>> A=[a -b c; -a b -c; 0 b -c]
A =
[ a, -b, c]
[ -a, b, -c]
[ 0, b, -c]
>> det(A)
ans = 0
B) , и ,
>> B=[2*a b c; a b 0; 0 b -c]
B =
[ 2*a, b, c]
[ a, b, 0]
[ 0, b, -c]
>> det(B)
ans = 0
C) , и .
>> C=[1 -1 1; 1 1 0; 0 1 -1]
C =
1 -1 1
1 1 0
0 1 -1
>> det(C)
ans =-1
Упражнение 3.22.
Вычислить
если
=А.
>> syms a b c
>> det([a 2*b -c;3*a -b 0;2*a 2*b c])
ans = -15*a*b*c
-15*a*b*c =-15А
Упражнение 3.23.
Пусть
– некомпланарные векторы. Найти значение
при котором следующие векторы компланарны:
>> syms L
>> a=[1 -2 L];
b=[3 1 -1];
c=[1 0 -L];
>> det([a;b;c])
ans =2 - 8*L
>> L=2/8
L = 0.2500
Задание на 10 баллов.
1. Даны векторы
Вычислить: а)
б)
в)
>> a=[1,-2,3]; b=[1,0,-3];c=[0,4,1];
>> cross(a+2*b,a-c)
ans =
-22 -9 -16
>> cross(cross(a,b),c)-cross(a,cross(b,c))
ans =
3 -38 1
>> cross(cross(a,b),cross(a,c))
ans =
26 -52 78
2.Вычислить
если
Ответ:
>>syms a b c
det([2*a -b 0;a 3*b c;0 b -c])
ans =
-9*a*b*c= -
3. При каких
векторы
взятые в указанном порядке, образуют
правую тройку?
>> syms L
>> a=[3, -1, 4]; b=[1,0,3]; c=[L,2,L-1];
>> det([a;b;c])
ans =
- 2*L - 11
>> L=11/(-2)
L =-5.5000 – при L<-5.5 векторы a,b,c образуют правую тройку.
4. Вычислить
>> f=[2 -3 5;1 1 0;0 2 -1];
>> det(f)
ans =5