Площадь криволинейной фигуры
Зададим
на отрезке
(а
и b
– конечные числа) неотрицательную
непрерывную функцию
.
Изобразим ее график и определим понятие
площади фигуры, ограниченной кривой
,
осью
,
прямыми
и
и вычислим эту площадь. Проведем разбиение
отрезка
на
частей точками
,
выберем на каждом из полученных отрезков
(j
= 0, 1, …, n–1)
по произвольной точке
определим значения
функции в этих точках и составим сумму:
которую называют интегральной суммой
и
которая равна сумме площадей
прямоугольников. Будем теперь стремить
все
к нулю, причем так, чтобы максимальный
(самый большой) частичный отрезок
разбиения стремиться к нулю. Если при
этом величина
стремиться к определенному пределу
,
не зависящему от способов разбиения и
выбора точек
.
Тогда величину
назовем площадью нашей криволинейной
фигуры. Т. о.:
.
Отвлекаясь
от операции нахождения площади, будем
рассматривать эту операцию как нахождение
некоторого числа
по данной функции
,
заданной на отрезке
:
.
Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы, когда максимальный частичный отрезок разбиения стремиться к нулю.
Пусть
задана непрерывная на
функция
и пусть
есть ее первообразная. Теорема
Ньютона-Лейбница утверждает справедливость
следующего равенства:
.
Основные методы интегрирования
Интегрирование заменой переменной (подстановкой)
Пусть
функция
определена и дифференцируема на некотором
множестве
,
и пусть
множество всех значений этой функции.
Пусть далее для функции
существует на множестве
первообразная функция
,
т. е.
.
Тогда всюду на множестве
для функции
существует первообразная функция,
равная
,
т. е.
.
Пусть
нам требуется вычислить интеграл
и можно выбрать в качестве новой
переменной функцию
так, что
,
причем
легко интегрируется т.е.:
и
– этот прием вычисления называется
интегрированием путем замены переменной.
Интегрирование по частям
Пусть
каждая из функций
и
дифференцируема на множестве
и, кроме того, на этом множестве существует
первообразная для функции
.
Тогда на множестве
существует первообразная и для функции
,
причем справедлива формула
.