Основы математического анализа

Если функция f имеет в точке x производную, то существует предел:

где .

Отсюда следует, что

где при

Таким образом, (1)

Если ввести обозначение , то равенство (1) можно записать следующим образом:

(2)

говорят, что функция f дифференцируема в точке если ее приращение Dy в этой точке можно записать в виде (2), где А – некоторая константа, не зависящая от Dx, но вообще говоря зависящая от x. Если функция имеет в точке x производную, то она дифференцируема в этой точке ( ). Верно и обратное утверждение: если функция дифференцируема в точке x, т. е. ее приращение в точке x представимо в виде (2), то она имеет производную в точке x равную А.

Если , то приращение функции эквивалентно при первому слагаемому правой части (2) ( ). В этом случае, когда , член называют главным линейным членом приращения. Приближенно, пренебрегая бесконечно малой высшего порядка, при малых можно считать равным главному члену.

Главный линейный член приращения называют дифференциалом функции в точке (соответствующим приращению независимой переменной ) и обозначают так:

.

Приращение независимой переменной обозначают ( для дифференциала функции от ), таким образом дифференциал функции в точке записывается так

.

Отметим очевидные формулы:

.

Производная функции от функции

Пусть задана функция от функции , где , . При этом функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда существует производная от в точке , равная:

.

Таблица производных простейших элементарных функций.

1. 

2. , а – любое число

3. , в частности

4. , в частности, при :

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

Производные и дифференциалы высшего порядка

Производная от функции есть снова функция. Поэтому можно попытаться взять от нее производную. Полученная функция (если она существует, то называется второй производной от и обозначается через . Таким образом, .

По индукции, производная порядка n определяется как первая производная от производной порядка (n – 1): .

Дифференциал от функции мы будем называть первым дифференциалом от в точке , соответствующим дифференциалу (приращению) независимой переменной .

Дифферециал n-го порядка от функции в точке , соответствующий дифференциалу независимой переменной определяется по индукции:

.

Из этого равенства следует, что n-я производная от в точке , есть отношение .

Первообразная. Неопределенный интеграл

Пусть на интервале (а, b) задана непрерывная функция . По определению функция называется первообразной функцией для на интервале (а, b), если на нем производная от равна :

Очевидно, что если функция - первообразная для на (а,b), а С – некоторая постоянная, то функция есть также первообразная для , потому, что

Если какая-либо первообразная от на интервале (а, b), то возможные первообразные от на этом интервале выражаются формулой , где вместо С можно подставить любое число.

Неопределенным интегралом от непрерывной функции на интервале (а, b) называется произвольная ее первообразная функция. Неопределенный интеграл обозначается так:

.

Если , – непрерывные на интервале (а, b) функции и , и – постоянные, то имеет место следующее равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла:

, где С – некоторая постоянная.

Таблица основных неопределенных интегралов

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. 

12. ;

13. ;

14. .

Понятие определенного интеграла.