Преобразования

Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и и продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны). Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек: центр описанной окружности и ортоцентр, центроид и точка Лемуана, точки Брокара. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли, а центр вписанной окружности изогонально сопряжён сам себе. Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые. Так, изогонально сопряжены гипербола Киперта и ось Брокара, гипербола Енжабека и прямая Эйлера, гипербола Фейербаха и линия центров вписанной о описанной окружностей. Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают. Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.Изотомически сопряжены точки Жергонна и Нагеля. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в 00510000510010400010000180118000181%22http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%91%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D1%83%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0%D1%8F&action=edit&redlink=1"удалённуюпрямую"бесконечно HYPERLINK "%22бесконечно%20HYPERLINK%20%22http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%91%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D1%83%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0%D1%8F&action=edit&redlink=1"удалённуюпрямую"удалённуюпрямуюперейдёт описанный эллипс Штейнера.

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — 09100501080200050105001100070020000805проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке  , лежит на трилинейной поляре точки  , то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке   лежит на трилинейной поляре точки  ).

Кубики

Кубика — это кривая третьего порядка (задающаяся уравнением третьей степени). Многие замечательные кубики, связанные с треугольником, строятся следующим образом: фиксируется точка в плоскости (возможно бесконечно удалённая). Тогда множество таких точек  , что прямая   проходит через эту точку, является описанной около треугольника кубикой (здесь   — точка, изогонально сопряжённая  ). Такие кубики проходят также через центры вписанной и вневписанных окружностей, а также через саму фиксированную точку и изогонально сопряжённую ей.0210510300180080%⁵B¹⁰%^{5D"[HYPERLINK "%BA%22%5B10%5D"10HYPERLINK "%BA%22%5B10%5D"]}

• Кубика Дарбу получается, если зафиксировать точку, симметричную ортоцентру относительно центра описанной окружности. Она проходит через ортоцентр и центр описанной окружности.

• Кубика Томсона получается, если в качестве фиксированной точки выбрать центроид. Кубика Томсона проходит через центроид, точку Лемуана, ортоцентр, центр описанной окружности, середины сторон и середины высот.

• Кубика Мак-Кэя получится, если в качестве фиксированной точки взять центр описанной окружности. Она также проходит через ортоцентр и центр описанной окружности.

• Кубика Нейберга — множество таких точек  , что   — прямой Эйлера (зафиксирована её бесконечно удалённая точка). На этой кубике лежит более 15 замечательных точек, в частности, точки Торричелли, Аполлония, ортоцентр, центр описанной окружности, вершины правильных треугольников, построенных на сторонах (внешним или внутренним образом), точки, симметричные вершинам относительно сторон, а также лежащие на всех кубиках центры вписанной и вневписанных окружностей.

Соотношения в треугольнике

Примечание: в данном разделе  ,  ,   — это длины трёх сторон треугольника, и  ,  ,   — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

• ;

• ;

• .

Неравенство треугольника является одной из аксиом 09051108000метрики.

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема синусов

,

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ.

Теорема косинусов

Является обобщением 020501050000908100030100теоремы Пифагора.

[0210510300180080%22править"править]020501050001000030501002Теорема тангенсов

Другое название: формула Региомонтана.

Прочие соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для  :

• 

• 

• 

• 

•  — 04010100000900510004018110510300180080001формула Эйлера

• 

Где:

•  — отрезки, на которые 008110501108100биссектриса   делит сторону  ,

•  — 090504080000011051030018008000медианы, проведённые соответственно к сторонам  ,   и  ,

•  — 0181010011051030018008000высоты, опущенные соответственно на стороны  ,   и  ,

•  — 0000040811%22радиус"радиус 0008100000018001106001118вписанной окружности,

•  — 0000040811%22радиус"радиус 09008100000018001106001118описанной окружности,

•  — полупериметр,

•  — 0900100041803050005110818площадь,

•  — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

Решение треугольников

Основная статья: 000510500805110510300180080002Решение треугольников

Вычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных, исторически получило название 000510500805110510300180080002«решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы.

Площадь треугольника

• , так как  , то:

• 

• 

• 

•  — 04010100000510000формула Герона

• 

• 

• 

•  — для 0911800103001801809110510300180080прямоугольного треугольника

•  — для 0000020011010000809110510300180080равностороннего треугольника

•  — если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам

•  — если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам (аналогично формуле 6!)

•  — ориентированная площадь треугольника на комплексной плоскости с вершинами в a, b, c.

Где:

•  — высота, проведённая на сторону  ,

•  — полупериметр,

•  — радиус 0008100000018001106001118вписанной окружности,

•  — радиус 000502008100000018001106001118вневписанной окружности, касающейся стороны  ,

•  — радиус 09008100000018001106001118описанной окружности,

•  — координаты вершин треугольника.

Для площади справедливы неравенства:

• , причём оба равенства достигаются.

• , где равенство достигается для равнобедренного прямоугольного треугольника.

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

Пусть вершины треугольника находятся в точках  ,  ,  .

Введём вектор площади  . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

Положим  , где  ,  ,   — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом

и аналогично

Площадь треугольника равна  .

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по 020501050000908100030100теореме Пифагора) и далее по 04010100000510000формуле Герона.

Теоремы о треугольниках

Теорема HYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%94%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B3%D0%B0"Дезарга: если два треугольника перспективны (прямые, проходящие через соответственные вершины треугольников, пересекаются в одной точке), то их соответственные стороны пересекаются на одной прямой.

Теорема HYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A1%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D0%B0&action=edit&redlink=1"Сонда́: если два треугольника перспективны и ортологичны (перпендикуляры, опущенные из вершин одного треугольника на стороны, противоположные соответственным вершинам треугольника, и наоборот), то оба центра ортологии (точки пересечения этих перпендикуляров) и центр перспективы лежат на одной прямой, перпендикулярной оси перспективы (прямой из теоремы Дезарга).

История изучения

Свойства треугольника, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны с античности.

Теорема HYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A7%D0%B5%D0%B2%D1%8B"Чевы была доказана в 02050XI веке арабским учёным 011100018091100000008010051041%22http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%AE%D1%81%D1%83%D1%84_%D0%B0%D0%BB%D1%8C-%D0%9C%D1%83%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BD_%D0%B8%D0%B1%D0%BD_%D0%A5%D1%83%D0%B4&action=edit&redlink=1"аль-МутаманомHYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%AE%D1%81%D1%83%D1%84_%D0%B0%D0%BB%D1%8C-%D0%9C%D1%83%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BD_%D0%B8%D0%B1%D0%BD_%D0%A5%D1%83%D0%B4&action=edit&redlink=1" ибнХудом"Юсуфом HYPERLINK "%22Юсуфом%20HYPERLINK%20%22http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%AE%D1%81%D1%83%D1%84_%D0%B0%D0%BB%D1%8C-%D0%9C%D1%83%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BD_%D0%B8%D0%B1%D0%BD_%D0%A5%D1%83%D0%B4&action=edit&redlink=1"аль-МутаманомHYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%AE%D1%81%D1%83%D1%84_%D0%B0%D0%BB%D1%8C-%D0%9C%D1%83%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BD_%D0%B8%D0%B1%D0%BD_%D0%A5%D1%83%D0%B4&action=edit&redlink=1" ибнХудом"аль-МутаманомHYPERLINK "%22Юсуфом%20HYPERLINK%20%22http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%AE%D1%81%D1%83%D1%84_%D0%B0%D0%BB%D1%8C-%D0%9C%D1%83%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BD_%D0%B8%D0%B1%D0%BD_%D0%A5%D1%83%D0%B4&action=edit&redlink=1"аль-МутаманомHYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%AE%D1%81%D1%83%D1%84_%D0%B0%D0%BB%D1%8C-%D0%9C%D1%83%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BD_%D0%B8%D0%B1%D0%BD_%D0%A5%D1%83%D0%B4&action=edit&redlink=1" ибнХудом" ибн Худом, однако его доказательство было забыто. Она была доказана вновь итальянским математиком 07050200006002000008%22http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D0%B2%D0%B0,_%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%22Чевой"Джованни HYPERLINK "%22Джованни%20HYPERLINK%20%22http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D0%B2%D0%B0,_%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%22Чевой"Чевой в 03004%20году"1678 HYPERLINK "%221678%20году"году.

Дальнейшее изучение треугольника началось в 02050XVII веке: была доказана 02050105000005070010300%22http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%94%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B3%D0%B0%22Дезарга"теорема HYPERLINK "%22теорема%20HYPERLINK%20%22http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%94%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B3%D0%B0%22Дезарга"Дезарга (1636), открыты некоторые свойства точки Торричелли (1659). В 02050XVIII веке была обнаружена 0911800018009005100прямая Эйлера и 090110600111804050218108101050окружность шести точек (1765). В 03004%20году"1828 HYPERLINK "%221828%20году"году была доказана 020501050000405090510100100теорема Фейербаха. В начале 02050XIX века была открыта 020100000510300000точка Жергонна.

Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце 02050XIX века. К этому времени относится творчество 09050100000080181%22http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%B0%D0%BD,_%D0%AD%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C&action=edit&redlink=1"Лемуана"Эмиля HYPERLINK "%22Эмиля%20HYPERLINK%20%22http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%B0%D0%BD,_%D0%AD%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C&action=edit&redlink=1"Лемуана"Лемуана, 0100001001081%22http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%91%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D1%80,_%D0%90%D0%BD%D1%80%D0%B8&action=edit&redlink=1"Брокара"Анри HYPERLINK "%22Анри%20HYPERLINK%20%22http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%91%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D1%80,_%D0%90%D0%BD%D1%80%D0%B8&action=edit&redlink=1"Брокара"Брокара, Жозефа Нейберга, 0100040009180511Пьера HYPERLINK "%22Пьера%20Сонда́"Сонда́.

Мистика связанная с треугольником:

Бермудский треугольник — район в Атлантическом океане, в котором якобы происходят таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы.

Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами.

Исчезновение пяти самолетов-торпедоносцев "Эвенджер" (Мститель) 5 декабря 1945 года до сих пор остается едва ли не самой громкой катастрофой, случившейся в этом районе Атлантического океана. Именно после этого события истории о "треугольнике смерти" начали проникать в печать.