5. Методы математической статистики в научных исследованиях

И сследуй все, пусть для тебя на первом месте будет разум; представь ему руководить собой.

П ифагор.

Не существует такой истины, против которой не спорили бы, и которая не была бы доказана столькими же способами, сколькими ее опровергали.

Ж. Робине.

В настоящем разделе мы не ставили перед собой задачу детального и всестороннего рассмотрения возможностей при­менения методов математической статистики в научных исследованиях, поскольку это является предметом специаль­ного курса «спортивная метрология» (20).

Нам хотелось бы определить основные понятия матема­тической статистики и простейшие способы обработки ре­зультатов научного исследования, необходимые для состав­ления статистических таблиц (см. 3.5).

Одним из основных в статистике является понятие о со­вокупности, под которой понимается всякое множество отдельных, отличающихся друг от друга и в то же время сходных в некоторых существенных отношениях объектов. Например, команда волейболисток какого-либо общества представляет собой совокупность. Число единиц совокупности называют «объемом» совокупности и обозначают его буквой «n». В частности, в нашем примере «n» будет составлять 27 единиц (волейболисток). Различия между единицами совокупности называют вариациями (или дисперсией) приз­нака. Иначе говоря, длина тела волейболисток (признак) варьирует у различных игроков. Эти значения (длина тела у различных волейболисток в данной команде) называют вариантами и обозначают буквой «Xi», где «i» — порядко­вый номер, т. е. 1, 2, З и т. д. Волейболистки. Величина, полу­ченная от деления суммы значений всех вариант на объем совокупности «n», называется средней арифметической и обозначается буквой «X» или «М». Она находится по фор­муле:

Σхi

M = ______

n

где Σ – знак суммы;

Xi – варианты данной совокупности (i – индекс суммирования);

n — объем совокупности.

Средняя арифметическая указывает на то, какое значе­ние признака наиболее характерно для данной совокупности. Однако этого показателя недостаточно, и. для характеристи­ки разнообразия признаков в совокупности используется такой показатель, как вариационный размах (разность между максимальным и минимальным значением вариант данного объема совокупности).

Lim =Xmax — Xmin,

где Lim — вариационный размах,

Xmax — максимальное значение варианты,

Xmin — минимальное значение варианты.

Индивидуальные отклонения от средних значений в дан­ной совокупности характеризует также среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение), обозначаемое буквой «σ» (сигма), высчитывается данный показатель по формуле:

Lim

σ =  ,

h

где Lim – вариационный размах,

k – коэффициент из таблицы Стьюдента, определяет­- ся по объему совокупности «n» (см. таблицу 1). Наконец, важным статистическим показателем, определяемым в каждом современном исследовании, является средняя ошибка средней арифметической, которая обозначается буквой «m». Она определяется по формуле:

σ

m= ——— ,

√n – 1

где σ – среднее квадратическое отклонение,

n – объем совокупности, при n < 30 случаев используется формула:

σ

n = —

√n

В ряде случаев при проведении исследований приходится сравнивать различные совокупности по каким-либо признакам (например, две команды волейболистов по длине тела, при этом важно быть уверенным в достоверности различий). Обычно достоверность сдвига средних для каждой команды определяется по формуле:

M - M2

t = —————— ,

3. 2 2

√m - m2

где t – критерий достоверности сдвига средних двух выборочных совокупностей.

M1 и M2 - арифметичечские средние двух выборочных совокупностей.

M и m2 – средние ошибки средних арифметических двух выборочных совокупностей.

П осле расчета критерия «t» по таблице «Критические значения t –критерия Стьюдента» определяется достоверность сдвига, при этом учитывается, что различие высоко достоверно при значениях критерия больше 3,17 при n =10, 2,85 при n =20 и 2,75 при n =30.

Для оценки достоверности значений какого-либо признака в конкретной совокупности (например, в команде волейболисток) применяется правило трех сигм, согласно которому все полученные значения должны удовлетворять формуле:

X – Xi ≤ ± 3σ

Это правило свидетельствует, что практически со 100% (99,73%) вероятностью исследуемый признак (длина тела) на будет отклоняться от средней арифметической больше, чем ± 3σ. Все значения данного признака, не удовлетворяющие этому правилу, не должны учитываться при обработке результатов исследования.

Таблица 1