Вариант 1

1. Доказать, что система

является совместной и решить ее

а) методом Крамера;

b) с помощью обратной матрицы.

2. Исследовать систему на совместность и в случае совместности решить ее:

3. Дан треугольник с вершинами А(2,5), В(-3,1), С(0,4). Пусть K – точка пересечения высот треугольника, M – точка пересечения медиан треугольника, N – точка пересечения биссектрис треугольника.

1. Составить уравнение стороны BC.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно прямой .

4. Найти уравнение прямой KM.

5. Найти длину отрезка КМ.

6. Составить уравнение прямой, которая является серединным перпендикуляром к стороне BC.

В каждом пункте выполнить чертёж.

4. Даны точки A(0,4,5), B(3,-2,1), C(4,5,6), D(3,3,2).

1. Составить уравнение плоскости , проходящей через точки A, B, C.

2. Найти уравнение высоты, опущенной из точки D на плоскость .

3. Составить плоскостей α₁ и α₂, параллельных плоскости  и удаленных от нее на расстояние .

5. Определить вид поверхности второго порядка, заданной уравнением

и изобразить её.

6. Вычислить пределы:

1. ;

2. ;

3. .

7. Найти производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. .

8. Найти производную функции, заданной неявно:

9. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Вариант 2

1. Доказать, что система

является совместной и решить ее

а) методом Крамера;

b) с помощью обратной матрицы.

2. Исследовать систему на совместность и в случае совместности решить ее:

3. Дан треугольник с вершинами А(-5,1), В(8,-2), С(1,4). Пусть K – точка пересечения высот треугольника, M – точка пересечения медиан треугольника, N – точка пересечения биссектрис треугольника.

1. Составить уравнение стороны BC.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно прямой .

4. Найти уравнение прямой KM.

5. Найти длину отрезка KM.

6. Составить уравнение прямой, которая является серединным перпендикуляром к стороне BC.

В каждом пункте выполнить чертёж.

4. Даны точки A(2,-1,7), B(6,3,1), C(3,2,8), D(2,-3,7).

1. Составить уравнение плоскости , проходящей через точки A, B, C.

2. Найти уравнение высоты, опущенной из точки D на плоскость .

3. Составить плоскостей α₁ и α₂, параллельных плоскости  и удаленных от нее на расстояние .

5. Определить вид поверхности второго порядка, заданной уравнением

Вычислить пределы:

1. ;

2. ;

3. .

7.Найти производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. .

8. Найти производную функции, заданной неявно:

8. Провести полное исследование функции и построить ее график.