2.4 Дифференциальные уравнения Эйлера равновесия жидкости
Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы.
Рисунок 9 — К выводу дифференциальных уравнений Эйлера равновесия жидкости |
В покоящейся жидкости произвольно расположим прямоугольные оси координат. В пределах этих осей выделим элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат (рисунок 7). Предположим, что жидкость в этом объеме затвердела. |
Тогда на гранях параллелепипеда действуют силы давления Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6, а в его центре тяжести приложена равнодействующая всех массовых сил Q.
Параллелепипед находится в равновесии. Напишем условие равновесия для оси х:
(19)
Если принять, что р1 = р, то в связи с изменением координаты на величину dx
Проекция на ось х равнодействующей массовой силы Q найдётся из уравнения
где
проекция ускорения массовой силы Q
на ось х.
Подставляя
и
в уравнение (18) и сокращая на объём
dxdydz,
получим:
или, разделив обе части последнего равенства на :
Проведя аналогичные рассуждения для условий равновесия относительно двух других осей, получим систему дифференциальных уравнений, носящих имя Эйлера:
(20)
2.5 Абсолютное и избыточное давление. Вакуум
Давление на поверхности Земли, называемое атмосферным или барометрическим, постоянно изменяется в зависимости от метеоусловий. Зависит оно и от высоты расположения точки, в которой оно измеряется, над поверхностью Земли.
В технике считают, что:
Но в системе единиц СИ нет кгс, нет см2.
Известно, что 1 кгс = 9,81 Н; 1 см2 = 10-4 м2.
Тогда
Приняв за величину атмосферного давления величину
1 атм = 1 кгс/см2, мы за ноль отсчета приняли давление в абсолютной пустоте.
Так что на поверхности Земли Рабс = 1атм = 1 кгс/см2.
Давление, отсчитываемое от абсолютного нуля называется абсолютным (полным).
В технике чаще используют избыточное давление — это превышение абсолютного давления над атмосферным, или избыток давления над атмосферным.
Таким образом, связь между абсолютным и избыточным давлением:
Ризб = Рабс – Ратм. (21)
Рабс = Ратм + Ризб. (22)
Отрицательное избыточное давление называется вакуумом (разрежением), или вакуум — это недостаток давления до атмосферного.
Причём записи Ризб = - 0,72 атм и Рвак = 0,72 атм идентичны, это одно и тоже давление.
Пределы изменения вакуума: 0 Рвак 1 атм.
Максимальное значение вакуума: Рвак max = 1 атм.
Рис.10 Схема установки пьезометра
А
бсолютное,
или полное, гидростатическое давлении
состоит их внешнего давления на свободную
поверхность жидкости и манометрического
(избыточного)
даления, которое создает слой воды над
рассматриваемой точкой А.
В открытом сосуде на свободную поверхность жидкости действует атмосферное давление. Обозначим его Ратм., а манометрическое (избыточное) Рман., тогда абсолютное давление Рабс = Ратм + Рман.. следовательно, основное уравнение гидростатики можно записать так:
Рабс = Ратм +h
Из рисунка 10 видно, что в закрытом сосуде Рабс = Ратм +hр, а с другой стороны Рабс = Р0+h, следовательно Ратм +hр=Р0+h, откуда можно записать:
Величина hр – пьезометрическая величина,показывающее избыточное давление в точке, где присоединена трубка (пьезометр). В открытом сосуде hр= h, так как Р0=Ратм, т.е. пьезометрическая высота будет равна глубине погружения точки А в жидкость. Высоту поднятия воды в пьезометре относительно плоскости отсчета 00 называют пьезометрическим напором Нр. Для закрытого сосуда:
Для измерения вакуума используют вакуумметр. В связи с тем, что Р0<Ратм, жидкость поднимается в трубке из сосуда В на высоту hвак.
По уравнению Рабс = Ратм +h напишем:
Ратм = Р0 +hвак
Откуда
:
Задача: к котлу, заполненному водой, присоединена трубка, опущенная в стакан с ртутью. Определить Рабс и Ризб на дне котла.
Решение: Р1 = Р2
Р1 = Р0 + ρвgh2 + ρртgh1
Р2 = Ратм;
Р0 = Ратм – g(ρвh2 + ρртh1) = 9.81*104 – 9.81(1000*2 + 13560*0.4) = 25270 Па
Рдабс = Р0 + ρвgh3 = 25270 + 1000*9,81*5 = 74320 Па
Рдизб = Рдабс - Ратм = 74320 – 9,81*104 = -23780 Па