П.4 Абсолютно и условно сходящиеся интегралы

О. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

О. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если интеграл сходится, а интеграл расходится.

Теорема Из абсолютной сходимости несобственного интеграл следует его сходимость.

Доказательство. Пусть сходится. По критерию Коши, это значит, что .

Но так как , то условие Коши выполняется и для функции ■

Замечание. Обратное к утверждению теоремы не всегда верно.

П.5 Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Признак Дирихле Если 1) функция ограничена на (т.е. ); 2) функция монотонна и , то интеграл сходится.

Признак Абеля Если 1) интеграл сходится; 2) функция монотонна и ограничена на , то интеграл сходится.