- •§ 3 Определенный интеграл п.1 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •П.2 Определение интеграла Римана
- •П.3 Необходимое условие интегрируемости функции
- •П.4 Достаточное условие интегрируемости функции
- •П.5 Классы интегрируемых функций
- •§ 4 Свойства определенного интеграла п.1 Другая формулировка критерия интегрируемости
- •П.2 Свойства, связанные с операциями над функциями
- •П.3 Свойства, связанные с отрезками интегрирования
- •П.4 Оценки интегралов
- •П.5 Интегральная теорема о среднем
- •§ 5 Интеграл с переменным верхним пределом
- •П.1 Определение и свойства интеграла с переменным верхним пределом
- •П.3 Замена переменной в определенном интеграле
- •П.4 Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •§ 6 Приложения определенного интеграла п.1 Вычисление площади плоской фигуры
- •П.2 Площадь криволинейного сектора
- •П.3 Вычисление объемов тел
- •П.4 Вычисление длины дуги кривой
- •П.5 Вычисление площади поверхности вращения
- •§ 7 Несобственные интегралы п.1 Определения несобственных интегралов
- •П.2 Свойства несобственных интегралов
- •П.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
- •П.4 Абсолютно и условно сходящиеся интегралы
- •П.5 Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов
П.3 Замена переменной в определенном интеграле
Теорема Пусть непрерывна на отрезке , имеет непрерывную производную на интервале , отображает отрезок на отрезок так, что , . Тогда справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:
.
Доказательство. Пусть – первообразная для , тогда – первообразная для функции .
По формуле Ньютона-Лейбница, имеем: .
С другой стороны,
Так как правые части равенств равны, то и левые равны ■
Пример Вычислить интеграл .
Решение.
.
Утверждение 1 а) если – нечетная функция, то R;
б) если – четная функция, то R.
Доказательство. а) Так как – нечетная, то . Сделаем замену в интеграле:
.
Тогда .
б) Так как – четная, то . Сделав такую же замену, получим
.
Тогда ■
Утверждение 2 Если – периодическая функция с периодом Т, то R имеет место равенство:
.
Доказательство. По свойствам интеграла,
В последнем интеграле сделаем замену: . Если , то . Тогда
.
Значит, ■
П.4 Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема Если функции и имеют на отрезке непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
.
Для доказательства достаточно проинтегрировать на отрезке равенство и учесть, что .
§ 6 Приложения определенного интеграла п.1 Вычисление площади плоской фигуры
О. Криволинейной трапецией называется фигура , задаваемая на плоскости условиями: , где – непрерывная на функция.
Утверждение Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
.
Доказательство. Пусть разбиение отрезка ,
, , , , .
Рассмотрим фигуру , составленную из прямоугольников , у которых длина основания равна , а высота . А также рассмотрим фигуру , составленную из прямоугольников , длина основания которых равна , а высота , .
Очевидно, . Площади фигур и соответственно равны:
, ,
где и – нижняя и верхняя суммы Дарбу функции .
Значит, .
Так как непрерывна на , то она интегрируема на . По критерию интегрируемости , при , т.е.
. Значит, и ■
Рассмотрим фигуру , ограниченную отрезками прямых и графиками непрерывных функций и , где при . Если , то площадь фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, поэтому
.
Последняя формула остается верна и в случае, когда условие не выполняется.
Пример Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом .
Решение. Найдем площадь части эллипса, расположенной в первой координатной четверти. Из уравнения эллипса , . Тогда искомая площадь
.
Аналогично (при ) можно вычислить площадь круга .
П.2 Площадь криволинейного сектора
Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнением , . Тогда плоскую фигуру , ограниченную кривой Г и отрезками лучей называют криволинейным сектором.
Утверждение Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:
.
Доказательство. Пусть разбиение отрезка ,
, , , , .
Обозначим и – круговые секторы, ограниченные лучами , и дугами окружностей радиусов и соответственно. Тогда .
Величины и совпадают соответственно с нижней и верхней суммами Дарбу функции . Поэтому при получим
■