П.2 Свойства несобственных интегралов

Будем рассматривать несобственные интегралы вида , где особая точка интеграла (т. е. или не ограничена в окрестности ). Будем предполагать, что определена на и интегрируема на отрезке .

1) Линейность.

Утверждение Если сходятся несобственные интегралы от функций и по , то при R сходится интеграл от функции на и выполняется равенство:

.

Доказательство. Для , в силу свойств интеграла Римана, выполняется равенство:

.

Перейдем к пределу в обеих частях последнего равенства при . Так как предел правой части существует по условию теоремы, то существует предел и левой части ■

2) Формула Ньютона-Лейбница.

Утверждение Если функция непрерывна на и если – первообразная для , то несобственный интеграл сходится тогда, и только тогда, когда существует и конечен , причем .

Доказательство. Так как непрерывна на любом отрезке , где , то на справедлива формула Ньютона-Лейбница:

.

Переходя в обеих частях последнего равенства к пределу при , получим, что и требовалось доказать ■

3) Интегрирование по частям.

Утверждение Пусть функции и определены на , имеют непрерывные производные на . Если существует и конечен , а интеграл сходится, то интеграл тоже сходится и справедлива формула интегрирования по частям:

.

Доказательство аналогично доказательству предыдущего утверждения.

4) Формула замены переменной.

Утверждение Если функция непрерывна на , а функция непрерывно-дифференцируема на , строго возрастает и , , то справедлива формула замены переменной:

,

при условии, что хотя бы один из интегралов сходится.

П.3 Признаки сходимости несобственных интегралов

Теорема 1 (критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции) Если , то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена сверху, т.е.

.

Доказательство. Заметим, что если , то – возрастающая функция. Действительно, если , то . Но по критерию существования предела монотонной функции, существует тогда, и только тогда, когда ограничена сверху ■

Теорема 2 (признак сравнения) Если выполняется условие , то

а) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла ; б) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Доказательство. Так как , то, в силу свойств интеграла, выполняется неравенство: .

Если интеграл сходится, то функция ограничена сверху, тогда и функция . Значит, интеграл сходится. Если же расходится, то не ограничена сверху, тогда и не ограничена сверху. В силу критерия сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции, интеграл расходится ■

Следствие Если выполняются условия , и при , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Так как при , то существует такая окрестность , что выполняется , т.е.

. Отсюда .

На отрезке интегралы и сходятся как собственные. Значит, сходимость этих интегралов на равносильна их сходимости на . Применяя признак сравнения, из последнего неравенства получим, что и требовалось доказать ■

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

.