2. Прямолинейное движение материальной точки.

При прямолинейном движении центростремительная составляю­щая ускорения отсутствует (а_ц = 0), поэтому полное ускорение совпадает со своей касательной составляющей (а = а_к).

Движение, происходящее с постоянным ускорением (а = const), называется равнопеременным (равноускоренным, если а > 0, и равнозамедленным, если а< 0).

В этом случае мгновенное ускорение равно среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (3) получим

откуда v = v_g + at, (5)

где V₀, — начальная скорость движения, V — скорость в момент времени t.

Средняя скорость на любом отрезке пути s в этом случае равна (V₀+V)/2. Тогда, учитывая формулу (1), можно написать, что откуда

Подставляя выражение V из формулы (5), получим

или (6)

Формулы (5) и (6) можно вывести из выражений мгновенного ускорения и мгновенной скорости посредством интегрирования.

Согласно (2), dV = adt. Тогда , откуда V-V₀ = at и V=V₀ + at.

Согласно (4), ds = Vdt. Тогда

Решая совместно уравнения (5) и (6) и исключая из них время t, получим

. (7)

Формулы (5) - (7) справедливы для любого равнопеременного прямолинейного движения, в том числе для свободного падения тела и для движения тела, брошенного вертикально вверх. В этих случа­ях, как известно, а = g = 9,81 м/с² (ускорение свободного падения).

Для равномерного прямолинейного движения V = V_a = const и а = 0. В этом случае формула (6) примет вид s = V t (8)

3. Движение материальной точки по окружности.

Рассмотрим движение материальной точки по окружности с по­стоянной по модулю скоростью. В этом случае, называемом равно­мерным движением по окружности, касательная составляющая ус­корения отсутствует (а_к. = 0) и ускорение совпадает со своей центростремнтельной составляющей (а = а_ц). Определим центростреми­тельное ускорение.

П усть за малый промежуток времени ∆t точка прошла путь ∆s, переместившись из А, где она имела скорость V₁, в В, где она имеет скорость V₂, а радиус-вектор движущейся точки повернулся на малый угол ∆φ (рис. 4). Построим век­тор изменения скорости ∆ и определим его модуль ∆V; = как углы с взаимно перпендикулярными сторонами; V₁ =V₂ = V, так как по числовому зна­чению скорость постоянна. Следователь­но, и ∆ВСD подобны как рав­нобедренные с одинаковыми углами при вершине, поэтому = | АВ | /R и ∆V = V | АВ| /R.

Тогда [см. (4)] или, учитывая, что V и R постоянны и а= , получим

При ∆t, стремящемся к нулю, хорда АВ стремится к дуге ∆s поэтому Следовательно,

Рис.4 позволяет еще раз убедиться в том, что полученное ускорение дей­ствительно является центростремительным. В самом деле, при ∆t→ 0 будет и ∆φ→ 0. При этом векторы ∆ и , имеющие одинаковое направление (см. § 4) совпадут с радиусом окружности и будут направлены к ее центру О.

Наряду со скоростью v равномерное движение материальной точки по окружности можно характеризовать угловой скоростью . Угловой скоростью называется отношение угла, поворота радиуса R (т. е. отношение углового пути) к промежутку времени, за ко­торый этот поворот произошел: ^. (10)

Единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с или с^-1).

1 рад/с – угловая скорость равномерно вращающегося тела, при которой за время 1 с совершается поворот тела относительно оси на угол 1 рад.

В отличие от угловой скорости  скорость v принято называть линейной.

Умножая обе части равенства (10) на R и учитывая, что R∆φ = ∆s (так как ∆φ выражается в радианах), получим соотношение, связывающее линейную скорость с угловой: . (11)

Введем еще характеристики движения материальной точки по окружности: период вращения Т (время одного оборота точки по окружности) и частоту вращения . Очевидно, что T и  - величины взаимно-обратные: (12)

Единицей периода вращения является секунда (с);

единицей ча­стоты вращения - герц (Гц).

1 Гц — частота периодического процесса, при которой за время 1с происходит один цикл периодического процесса.

Так как за период T радиус окружности, связанный с материальной точкой, повернется на угол 2, то [см.(10)] . Из формул (11) - (13) следует, что . (14)

При неравномерном движении материальной точки по окружности вместе с линейной скоростью изменяется и угловая. Поэтому можно ввести понятие углового ускорения (по аналогии с линейным уско­рением ).

Средним угловым ускорением называется отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, за который это изме­нение произошло: . (15)

Мгновенным угловым ускорением называется предел среднего уг­лового ускорения при стремлении промежутка времени к нулю: . (16)

При R = const изменение ∆ обусловлено только изменением ∆V. Поэтому [см.(11)] , откуда .

Подставляя последнее выражение в формулу (16), получим откуда a = R. (17)

У гловая скорость и угловое ускорение - величины векторные. Вектор угловой скорости направлен из центра О окружности с радиусом R, по которой движется материаль­ная точка А, перпендикулярно плоскости этой окружности (рис. 5) в сторону поступатель­ного движения буравчика, рукоятка которого вращается в направлении линейной скорости («правило буравчика»). Очевидно, что век­тору - соответствует противоположное на­правление движения (вращения) материаль­ной точки. Что касается углового ускорения , то его направление совпадает с направле­нием вектора изменения угловой скорости .

При равнопеременном движении материальной точки по окруж­ности ( , ) линейная скорость и пройденный путь определяются по формулам (5) и (6), в которых в качестве уско­рения надо брать его касательную составляющую. Поделив обе части каждой из этих формул на радиус окружности и учитывая, что согласно формулам (11) и (17) и ,

получим соответствующие выражения для угловой скорости и угла φ поворота радиуса (углового пути): _t, , (18)

где _ - начальная угловая скорость движения материальной точки.

Литература.

1. Грабовский Р.И. Курс физики. 6 – е изд. – СПб.: Издательство «Лань», 2002.- 608 с.

2. Никитин А.К. Курс лекций по физике. Изд. – 4-е. М.: Изд – во РУДН, 2002. – 224 с.

3. Дмитриева В.Ф. Основы физики. Учеб. пособие для студентов вузов.- 2-е изд. – М.: Высш. шк., 2001. – 527 с.

 Для неравномерного движения вводится понятие мгновенной угловой скорости

6