Решение.
Поясним как таблица 2 составляется.
Шаг 1.В ячейки А2:A26 заносим значения xi.
Шаг 2.В ячейки B2:B26 заносим значения уi.
Шаг 3.В ячейку С2 вводим формулу=А2^2.
Шаг 4.В ячейки С2:С26 эта формула копируется.
Шаг 5.В ячейку D2 вводим формулу=А2*B2.
Шаг 6.В ячейки D2:D26 эта формула копируется.
Шаг 7.В ячейку F2 вводим формулу=А2^4.
Шаг 8.В ячейки F2:F26 эта формула копируется.
Шаг 9.В ячейку G2 вводим формулу=А2^2*B2.
Шаг 10.В ячейки G2:G26 эта формула копируется.
Шаг 11.В ячейку H2 вводим формулу=LN(B2).
Шаг 12.В ячейки H2:H22 эта формула копируется.
Шаг 13.В ячейку I2 вводим формулу=А2*LN(B2).
Шаг 14.В ячейки I2:I26 эта формула копируется.
Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования .
Шаг 15. В ячейку А27 вводим формулу=СУММ(А2:А26).
Шаг 16. В ячейку В27 вводим формулу=СУММ(В2:В26).
Шаг 17. В ячейку С27 вводим формулу=СУММ(С2:С26).
Шаг 18. В ячейку D27 вводим формулу=СУММ(D2:D26).
Шаг 19. В ячейку E27 вводим формулу=СУММ(E2:E26).
Шаг 20. В ячейку F27 вводим формулу=СУММ(F2:F26).
Шаг 21. В ячейку G27 вводим формулу=СУММ(G2:G26).
Шаг 22. В ячейку H27 вводим формулу=СУММ(H2:H26).
Шаг 23. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26).
Аппроксимируем
функцию
линейной функцией
.
Для определения коэффициентов
и
воспользуемся
системой (4). Используя итоговые суммы
таблицы 2, расположенные в ячейках A27,
B27, C27 и D27,
запишем систему (4) в виде
(11)
решив которую,
получим
и
.
Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид
(12)
Решение системы (11) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 3.
Таблица 3.
|
A |
B |
C |
D |
E |
29 |
25 |
264,33 |
2009,69 |
|
|
30 |
264,33 |
3906,35 |
28894,43 |
|
|
31 |
|
|
|
|
|
32 |
Обратная матрица |
|
|
|
|
33 |
0,140575 |
-0,01089 |
|
a1= |
7,661 |
34 |
-0,009512 |
0,000900 |
|
a2= |
6,878 |
Пояснение: в ячейках A33:B33 записана формула {=МОБР(А29:В30)}.
В ячейках Е33:Е34 записана формула {=МУМНОЖ(А33:В34),(C29:С30)}.
Далее аппроксимируем
функцию
квадратичной функцией
.
Для определения коэффициентов a1,
a2 и a3
воспользуемся системой (5). Используя
итоговые суммы таблицы 2, расположенные
в ячейках A27, B27,
C27 , D27,
E27, F27,
G27 запишем
систему (5) в виде
(13)
решив которую,
получим a1=-3,3767499,
и
a3=0,03116469
Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид
(14)
Решение системы (13) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблиц
Таблица 4.
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
37 |
25 |
264,33 |
3906,33 |
2009,69 |
|
|
38 |
264,33 |
3906,33 |
68157,08 |
28894,43 |
|
|
39 |
3906,35 |
68157,08 |
1313892 |
487756,5 |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
41 |
Обратная матрица |
|
|
|
|
|
42 |
0,320409 |
-0,05331 |
0,001813 |
|
a1= |
-12,2474 |
43 |
-0,05331 |
0,011568 |
-0,00044 |
|
a2= |
11,72736 |
44 |
0,001813 |
-0,00044 |
1,83Е-05 |
|
a3= |
-0,20071 |
В ячейках А42:С44 записана формула {=МОБР(А37:С39)}.
В ячейках F42:F44 записана формула {=МУМНОЖ(А42:C44),(D37:D39)}.
Теперь аппроксимируем
функцию
экспоненциальной функцией
.
Для определения коэффициентов
и
прологарифмируем значения
и используя итоговые суммы таблицы 2,
расположенные в ячейках A27, C27,
H27 и I27,
получим систему
(15)
где
.
Решив систему
(15), получим
и
.
После потенцирования
получим
.
Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид
(16)
Решение системы (15) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 5.
Таблица 5.
|
A |
B |
C |
D |
E |
47 |
25 |
264,33 |
101,60 |
|
|
48 |
264,33 |
3906,35 |
1213,18 |
|
|
49 |
|
|
|
|
|
50 |
Обратная матрица |
|
|
c= |
2,74234168 |
51 |
0,140575 |
-0,00951 |
|
a2= |
0,12500079 |
52 |
-0,00951 |
0,0009 |
|
a1= |
15,5232932 |
В ячейках А51:В52 записана формула {=МОБР(А47:В48)}.
В ячейках Е50:Е51 записана формула {=МУМНОЖ(А51:В52),(С47:С48)}.
В ячейке Е52 записана формула=EXP(E50).
Вычислим среднее арифметическое и по формулам:
;
.
Результаты расчета и средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6.
Таблица 6.
|
A |
B |
56 |
Xср.= |
12,45664 |
57 |
Yср.= |
11,78079 |
В ячейке В56 записана формула=А27/26.
В ячейке В56 записана формула=В27/26
Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7, которая является продолжением таблицы 2.
Таблица 7.
|
A |
B |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
2 |
0,21 |
1,62 |
797,38 |
102,48 |
6204,33 |
0,11 |
1,07 |
149,56 |
3 |
1,19 |
8,65 |
655,91 |
83,60 |
5146,28 |
0,09 |
1,69 |
52,78 |
4 |
2,43 |
16,76 |
502,86 |
62,46 |
4048,47 |
3,51 |
6,13 |
4,91 |
5 |
3,12 |
24,45 |
403,49 |
52,03 |
3129,02 |
0,18 |
0,00 |
12,41 |
6 |
4,54 |
32,87 |
275,28 |
33,56 |
2257,92 |
5,06 |
5,25 |
52,90 |
7 |
4,98 |
40,09 |
215,72 |
28,66 |
1623,90 |
2,35 |
2,52 |
165,00 |
8 |
5,49 |
43,56 |
178,36 |
23,46 |
1356,27 |
1,03 |
1,38 |
203,66 |
9 |
6,07 |
48,45 |
136,16 |
18,17 |
1020,01 |
1,89 |
2,69 |
277,21 |
10 |
6,81 |
52,21 |
99,28 |
12,41 |
793,98 |
0,42 |
0,07 |
285,28 |
11 |
7,21 |
57,34 |
71,98 |
9,75 |
531,19 |
1,84 |
3,23 |
398,33 |
12 |
7,96 |
63,31 |
40,53 |
5,63 |
291,64 |
2,15 |
3,99 |
472,28 |
13 |
8,32 |
67,45 |
26,05 |
4,05 |
167,38 |
7,80 |
11,29 |
561,40 |
14 |
9,43 |
72,87 |
6,79 |
0,82 |
56,51 |
0,21 |
0,04 |
468,83 |
15 |
10,21 |
81,34 |
-0,12 |
0,02 |
0,91 |
3,67 |
6,72 |
582,27 |
16 |
11,54 |
89,45 |
10,94 |
1,46 |
82,13 |
0,13 |
0,10 |
414,62 |
17 |
12,33 |
97,77 |
34,71 |
3,99 |
302,15 |
3,17 |
5,91 |
419,83 |
18 |
13,21 |
105,34 |
71,78 |
8,28 |
622,62 |
6,12 |
9,40 |
316,32 |
19 |
14,72 |
112,56 |
141,13 |
19,24 |
1035,06 |
4,43 |
2,82 |
16,75 |
20 |
15,53 |
121,89 |
215,68 |
27,01 |
1722,45 |
0,80 |
1,44 |
0,05 |
21 |
16,23 |
108,54 |
166,01 |
34,77 |
792,56 |
321,29 |
314,90 |
667,48 |
22 |
17,32 |
126,45 |
321,83 |
48,82 |
2121,74 |
72,79 |
73,65 |
923,80 |
23 |
18,43 |
144,34 |
517,81 |
65,56 |
4089,91 |
0,47 |
0,13 |
1540,52 |
24 |
19,38 |
160,45 |
724,31 |
81,84 |
6409,99 |
87,83 |
76,95 |
2462,46 |
25 |
20,45 |
161,34 |
818,98 |
102,35 |
6553,29 |
3,61 |
0,91 |
6916,25 |
26 |
21,22 |
170,59 |
982,02 |
118,52 |
8136,47 |
26,36 |
15,32 |
10430,98 |
27 |
258,33 |
2009,69 |
7414,86 |
948,93 |
58496,20 |
557,32 |
547,59 |
27795,87 |
|
С у м м ы |
Остаточные суммы |
||||||
|
X |
Y |
(X-Xср )(Y-Yср) |
(X-Xср)^2 |
(Y-Yср)^2 |
линейн. |
квадр. |
экспон. |
Поясним как она составляется .
Ячейки А2:А27 и В2:В27 уже заполнены .
Далее делаем следующие шаги.
Шаг 1.В ячейку J2 вводим формулу=(А2-$B$56)*(B2-$B$57).
Шаг 2.В ячейки J3:J26 эта формула копируется.
Шаг 3.В ячейку K2 вводим формулу=(А2-$B$56)^2.
Шаг 4.В ячейки К3:K26 эта формула копируется.
Шаг 5.В ячейку L2 вводим формулу=(B2-$B$57)^2.
Шаг 6.В ячейки L3:L26 эта формула копируется.
Шаг 7.В ячейку M2 вводим формулу=($E$33+$E$34*A2-B2)^2.
Шаг 8.В ячейки M3:M26 эта формула копируется.
Шаг 9.В ячейку N2 вводим формулу=($F$42+$F$43*A2+$F$44*A2^2-B2)^2.
Шаг 10.В ячейки N3:N26 эта формула копируется.
Шаг 11.В ячейку O2 вводим формулу=($E$52*EXP($E$51*A2)-B2)^2.
Шаг 12.В ячейки O3:O226 эта формула копируется.
Последующие шаги делаем с помощью авто суммирования .
Шаг 13.В ячейку J27 вводим формулу =CУММ(J2:J26).
Шаг 14.В ячейку K27 вводим формулу =CУММ(K2:K26).
Шаг 15.В ячейку L27 вводим формулу =CУММ(L2:L26).
Шаг 16.В ячейку M27 вводим формулу =CУММ(M2:M26).
Шаг 17.В ячейку N27 вводим формулу =CУММ(N2:N26).
Шаг 18.В ячейку O27 вводим формулу =CУММ(O2:O26).
Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле (8) (только для линейной аппроксимации) и коэффициента детерминированности по формуле (10). Результаты расчетов средствами
средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8.
Таблица 8.
-
A
E
59
Коэффициент корреляции
0,99522675
60
Коэффициент детерминированности(линейная аппроксимация)
0,99047254
61
Коэффициент детерминированности(квадратичная аппроксимация)
0,99063888
62
Коэффициент детерминированности(экспоненциальная аппроксимация)
0,52482606
В ячейке E59 записана формула=J27/(K27*L27)^(1/2).
В ячейке E60 записана формула=1-M27/L27.
В ячейке E61 записана формула=1-N27/L27.
В ячейке E62 записана формула=1-O27/L27.
Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.
Вывод:
Сделаем выводы по результатам полученных данных.
1. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.
2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим что они полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то, что вычисления верны.
3. Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости 0,946 не совпадает с истинным значением –0,22545 (это значение было сосчитано вручную выше) поскольку при вычислении коэффициента детерминированности с помощью функции ЛИНЕЙН используются не истинные значения y, а преобразованные значения lny с дальнейшей линеаризацией.
4. Результаты полученные с помощью программы на языке PASCAL полностью совпадают со значениями приведенными выше. Это говорит о верности вычислений.