1.3.3.2. Фур’є-образ згортки і кореляції

Пряма та обернена теореми згортки

Можна показати, що

та . (1.3.8)

Справедливі також вирази

та . (1.3.9)

Пряма та обернена теореми кореляції

Вираз для кореляції можна переписати:

.

Відповідно для фур’є-образу кореляції маємо вираз:

та . (1.3.10)

1.4. Розповсюдження оптичної хвилі

1.4.1. Розповсюдження оптичної хвилі у вільному просторі

Н ехай одинична за інтенсивністю плоска хвиля (Рис. 1.4.1), яка розповсюджується в середовищі з показником заломлення освітлює тонкий транспарант з пропусканням (в загальному випадку комплексним) . Відповідно до (1.2.5) поле безпосередньо за транспарантом дорівнює:

(1.4.1)

Тоді можна вважати що кожна точка поля за транспарантом є точковим джерелом з модулем амплітуди та фазою згідно (1.4.1).

В

Рис. 1.4.1

иберемо довільне точкове джерело, розташоване в точці . З такого точкового джерела розповсюджується сферична хвиля, яка в площині в одномірному випадку описується комплексною амплітудою:

(1.4.2)

де

. (1.4.3)

Для двомірного випадку множник в (1.4.2) трансформується в множник .

Поле в точці є результатом інтерференції всіх таких хвиль, які надійшли з плоскості :

. (1.4.4)

Будемо вважати, що поперечні розміри транспаранта та розміри області в площині де поле аналізується малі у порівнянні з відстанню між площинами та . Тоді може бути апроксимоване як:

. (1.4.5)

Додамо, що амплітудний множник може бути апроксимований ще більш грубо . Відповідно вираз (1.4.4) перепишеться у вигляді:

. (1.4.4)

Вираз (1.4.4) іноді називають перетворенням Френеля від функції . Цей вираз описує розповсюдження промодульованої транспарантом хвилі в області дифракції Френеля.

Зробимо ще одне наближення:

(1.4.5)

Тоді (1.4.4) набуває вигляду:

. (1.4.6)

де . Вираз (1.4.6) описує розповсюдження промодульованої транспарантом хвилі в області дифракції Фраунгофера і є перетворенням Фур’є в координатах .

1.4.2. Реалізація фур’є-перетворення в оптиці і в інтегральній оптиці зокрема

Н ехай плоска хвиля (Рис. 1.4.2) освітлює транспарант . Відповідно поле зразу ж за транспарантом дорівнює його пропусканню. Впритул до транспаранта розташований об’єктив з фокусною відстанню . Після проходження лінзи поле описується комплексною амплітудою:

Рис. 1.4.2

(1.4.7)

На деякій відстані згідно з (1.4.4) поле має такий вигляд:

. (1.4.8)

З (1.4.8) випливає, що при , з точністю до квадратичного фазового множника дорівнює Фур’є-образу від .

Можна показати, що у випадку коли транспарант, розташований на деякій відстані до лінзи (або навіть позаду неї), поле також пропорційне Фур’є-образу від і квадратичному фазовому множнику , якій зникає лише у випадку коли , тобто коли транспарант, розташований в передній фокальній площині об’єктива. Проте, у будь-якому випадку, інтенсивність поля в площині завжди дорівнює спектру потужності від

(1.4.9)

Природно, що ці співвідношення залишаються в силі для систем інтегральної оптики, а само перетворення Фур’є в одновимірному варіанті реалізується планарними фокусуючими елементами.

Щодо операцій згортки та кореляції, то, як бачимо, з виразів 1.3.9,10 вони можуть бути реалізовані на основі операції множення та перетворення Фур’є.