1.2.3. Фазова затримка, що вноситься тонкою збираючою лінзою

Д ля того щоб визначити фазову затримку, яку вносить лінза (рис. 1.2.3) достатньо розрахувати різницю фаз, яку набуває хвиля вздовж відрізка (центр лінзи) та довільного відрізка .

Фаза, яку набуває хвиля вздовж відрізка дорівнює:

(1.2.6)

Ф

Рис. 1.2.3

аза, яку набуває хвиля вздовж відрізка дорівнює:

(1.2.6)

функція може бути отримана з рівняння круга . Одним з розв’язків цього рівняння є:

(1.2.7)

Відповідно різниця фаз описується виразом:

(1.2.8)

де фокусна відстань лінзи.

Отже, враховуючи те, що тонка збираюча лінза не модулює амплітуди хвилі, її можна розглядати як транспарант з пропусканням:

(1.2.9)

1.3. Математичні основи аналогових оптичних процесорів

1.3.1. Перетворення Фур’є

Під перетворенням Фур’є, або фур’є-образом будемо розуміти вираз:

;

. (1.3.1)

Під оберненим перетворенням Фур’є, розуміємо вираз:

;

. (1.3.2)

Наведемо деякі приклади Фур’є-перетворення:

Таблиця 1

Функція	Фур’є-образ
	1
1

1.3.2. Деякі властивості перетворення Фур’є

Властивості перетворення Фур’є будемо розглядати для одновимірного випадку.

1.3.2.1. Теорема зсуву

Дамо відповідь на питання – чому дорівнює перетворення Фур’є від функції . За визначенням перетворення Фур’є від такої функції дорівнює:

, або після заміни ;

, або

. (1.3.3)

Із (1.3.3) випливає, що , тобто величина не залежить від .

1.3.2.2. Теорема масштабу

Дамо відповідь на питання – чому дорівнює перетворення Фур’є від функції . За визначенням перетворення Фур’є від такої функції дорівнює:

, або після заміни ,

(1.3.4)

1.3.3. Згортка і кореляція

Згортка і кореляція двох функцій і визначаються виразами

та (1.3.5)

відповідно (1.3.6)

Зауважимо, якщо – дійсні та парні функції, то різниці між згорткою та кореляцією немає. Дійсно, в цьому випадку та .

Величину називають коефіцієнтом кореляції. Якщо , то називають автокореляцією функції . Величина дорівнює максимуму функції автокореляції.

На закінчення цього пункту наведемо важливе співвідношення:

(1.3.7)

1.3.3.1. Геометричне тлумачення згортки і кореляції

Геометричний зміст згортки і кореляції дійсних функцій можна зрозуміти з рисунка 1.3.1. Фактично згортка є площею взаємного перекриття функцій і . На рис. 1.3.1, б зображена автокореляційна функція прямокутного імпульсу шириною .

Як бачимо, ширина автокореляційної функції вдвічі більше, ніж ширина самого імпульсу. Це загальний наслідок і стосується автокореляційної функції будь-якого типу.

З

а б

Рис. 1.3.1

ауважимо, що у випадку, коли , особливо коли корелюють сигнали, які сильно відрізняються, максимум кореляційної функції, як правило, значно менше, ніж коефіцієнт автокореляції. Отже, коефіцієнти кореляцій можна розглядати як міру подібності двох функцій, полів, сигналів, а кореляційний критерій доцільно покласти в основу розробки пристроїв розпізнавання сигналів. Такі пристрої отримали назву кореляторів або конвольверів.