- •Тема I – линейная алгебра
- •1. Матрицы и определители Задания для подготовки к практическому занятию
- •Задания к практическому занятию
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задания к практическим занятиям
- •Тема II – аналитическая геометрия
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задания к практическому занятию
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задания к практическому занятию
- •Тема III – основы математического анализа
- •8. Предел последовательности Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задачи к практическому занятию
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задачи к практическому занятию
- •11. Производная функции Задания для подготовки к практическому занятию
- •1. Дифференциал функции
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •14. Функции нескольких переменных Задания для подготовки к практическому занятию
- •Задачи к практическому занятию
Задания к практическому занятию
1. Точка М делит отрезок АВ в отношении :. Найти координаты точки М, если А(xA;yA;zA), В(xВ;yВ;zВ).
2. Даны 2 вектора; убедиться, что, отложенные из одной точки, они образуют равнобедренный треугольник и найти угол при основании:
3. Пусть . Найти длину вектора .
4. Пусть . Найти угол между векторами
5. Даны 3 точки; найти проекцию точки С на прямую AB
A(-4, 4, 9), B(-1, 10, 1), C(-7, -10, 11)
6. Даны 2 противоположные вершины квадрата A(1, -1), С(2, 4). Найти оставшиеся две вершины.
7. Даны 3 точки: A(-2, 1), B(0, -2), C(5, 2). Найти точку М пересечения высот треугольника АВС
8. Два вектора отложены от одной точки; выяснить, является ли образованный ими треугольник прямоугольным, и найти его площадь:
9. Два вектора, отложенные из одной точки, образуют две стороны параллелограмма: . Найти площадь параллелограмма, если
10. Данные векторы, отложенные из одной точки, образуют две стороны треугольника. Найти высоту, опущенную на третью сторону:
11. Даны 2 вектора; найти высоту образованного ими параллелограмма, опущенную из конца вектора .
12. Даны 3 вектора; найти площадь треугольника, образованного концами этих векторов, отложенных из одной точки:
13. Даны 3 точки; найти расстояние от точки А до прямой ВС:
А(-4, 2, 1), В(1, -5, 5), С(3, 1, 4)
14. Найти единичный вектор (орт), перпендикулярный векторам
15. Показать, что данные векторы компланарны:
16. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами
A(2;2;2), B(4;3;3), C(4;5;4), D(5;5;6)
17. Даны три вектора: {1;-2;0}, {2;3;-1}, {3;0;а}. Найти такое значение параметра а, чтобы эти векторы были компланарны.
18. Даны 3 вектора; найти высоту образованной ими пирамиды, опущенную из конца вектора .
19. Даны 4 точки; найти расстояние от точки D до плоскости ABC:
A(-1, -1, -4), B(2, 5, -2), C(3, 3, 1), D(25, -4, 1)
6-7. Аналитическая геометрия на плоскости
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте §6 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.
Примеры.
Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(-2;5)
1. Написать уравнение прямой (АВ) и найти точки пересечения этой прямой с осями координат
Решение: Составим уравнение прямой с начальной точкой А(1;0) и направляющим вектором :
(АВ): .
Приведем уравнение к общему виду:
(АВ): x-2y-1=0
Проверка:
точка А принадлежит прямой (АВ), т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению: 1-20-1=0 – верно. точка В принадлежит прямой (АВ), т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению: 3-21-1=0 – верно.
Найдем точку Е пересечения прямой (АВ) с осью Ох. Имеем: , то есть yE=0. Поскольку также , координаты искомой точки должны удовлетворять уравнению прямой (АВ), то есть хЕ-2yE-1=0. Подставляя yE=0, получаем xE=1. Таким образом, .
Аналогично находим .
2. Написать уравнение прямой l1, проходящей через точку C параллельно прямой (АВ).
Решение: Уравнения параллельных прямых отличаются только свободным членом, то есть уравнение прямой будет иметь вид
l1: x-2y+c=0,
где с – некоторое число, которое мы можем найти из второго условия:
, следовательно, координаты точки С должны удовлетворять уравнению прямой l1:
-2-25+с=0, откуда получаем с=12.
Таким образом, окончательно имеем искомое уравнение
l1: x-2y+12=0.
3. Написать уравнение прямой l2, проходящей через точку C перпендикулярно прямой (АВ).
Решение: Для того, чтобы написать уравнение прямой, перпендикулярной данной, достаточно поменять местами коэффициенты при х и у, изменив у одного из них знак на противоположный:
.
Коэффициент с найдем из условия , откуда с=-1.
Таким образом, окончательно имеем искомое уравнение:
l2: 2x+y-1=0.
4. Найти проекцию Р точки С на прямую (АВ)
Решение: Проекция точки С на прямую (АВ)- это основание перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую (АВ), то есть точка пересечения прямых (АВ) и l2: . Поскольку искомая точка принадлежит обеим прямым, следовательно, ее координаты должны удовлетворять уравнениям этих прямых. Следовательно, требуется решить систему уравнений
Решением этой системы является пара чисел x=0,6; y=-0,2. Таким образом, искомая точка Р(0,6; -0,2).
5. Написать уравнение прямой l3, проходящей через точку С под углом 45о к положительному направлению оси Ох и найти угол между прямыми (АВ) и l3
Решение: Используем уравнение прямой, проходящей через точку С(-2;5) с угловым коэффициентом k=tg45o=1:
l3: y-5=1(x-(-2)), или
l3: х- y+7=0.
Далее, угол между прямыми равен острому углу между векторами, перпендикулярными этим прямым (или смежному если найденный угол тупой). Одним из векторов, перпендикулярных прямой, является вектор с координатами, равными коэффициентам при неизвестных в уравнении этой прямой.
Таким образом, имеем два вектора: и . Найдем косинус угла между векторами при помощи скалярного произведения:
.
Полученное число положительно, следовательно, угол острый и окончательно имеем
.