Задания к практическому занятию

1. Вычислить существующие произведения матриц из задания п6

2. Выполнить действия, если это возможно:

а) А³, где ; б)2А²+3А+5Е, где ;

в) А+В; А+В^Т; А^Т+В; АВ; ВА, где ;

3. Вычислить определители:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж)

4. Вычислить определитель. При каком значении параметра он равен 0?

а) ; б)

2-3. Обратная матрица. Матричные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений.

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §3,4 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Примеры.

Даны матрицы:

1. Существуют ли обратные для данных матриц? Если да, найдите и выполните проверку.

Решение: Матрица А квадратная, ее определитель равен , следовательно, А^-1 существует. Матрица В квадратная, но ее определитель , следовательно, В^-1 не существует. Матрица С размера 32, не квадратная, следовательно, С^-1 не существует.

Найдем обратную матрицу для матрицы А. Прежде всего, транспонируем матрицу А:

.

Составим присоединенную матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы А^Т:

Вычислим обратную матрицу по формуле

.

Проверим: произведение матрицы и ее обратной должно быть единичной матрицей

,

что и требовалось доказать, т.е. матрица А^-1 найдена верно.

Замечание: удобнее перемножать целочисленные матрицы, поэтому мы сначала перемножили матрицы и А, а результат домножили на дробь. Этим приемом мы будем пользоваться и далее.

2. Решить матричные уравнения АХ=В и YА=В.

Решение: Уравнение АХ=В, если матрица А имеет обратную, решается по формуле Х=А^-1В. Получаем:

Уравнение YА=В, если матрица А имеет обратную, решается по формуле Y=ВА^-1. Получаем:

3. Записать систему линейных уравнений в виде матричного уравнения:

Решение: Система линейных уравнений эквивалентна матричному уравнению АХ=В, где Х – столбец неизвестных; А – матрица коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений (необходимо следить за очередностью неизвестных в записи уравнения; если неизвестной в уравнении нет, значит, соответствующий коэффициент равен 0); В – столбец свободных коэффициентов:

; ;

4. Решить систему из п3 при помощи правила Крамера

Решение: Прежде всего, найдем определитель системы:

,

следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера. Для определения значения переменной х вычислим определитель , полученный из  заменой столбца коэффициентов при переменной х на столбец свободных коэффициентов:

, значит, .

Аналогично, определитель получаем из  заменой столбца коэффициентов при переменной y на столбец свободных коэффициентов:

,

.

Далее, определитель получаем из  заменой третьего столбца на столбец свободных коэффициентов:

,

Таким образом, решением системы является тройка чисел (-1;1;1). Подстановкой в уравнения системы убеждаемся, что решение найдено верно.

Вопросы и задачи

п1. Существуют ли обратные матрицы для матриц

, , ?

п2. Проверьте, является ли А^-1 обратной матрицей для матрицы А:

а) , ; б) ,

п3. Найдите обратную матрицу для матрицы . Проверьте результат.

п4. Решите матричные уравнения: а) АХ=В; б) ХА=В,

если ,

п5. Запишите систему линейных уравнений в виде матричного уравнения:

а) ; б)

п6. Решите систему а) из предыдущего задания при помощи обратной матрицы

п7. Решите, используя правило Крамера:

а) ; б)

п8. Можете ли вы привести пример системы линейных уравнений, которая имела бы ровно 2 решения?