9.5. Сложная функция и элементарные функции
Пусть
функция
определена на множестве D,
а функция u = (x)
определена на множестве D1.
Тогда на множестве D1
определена функция y = f((x)).
Данная функция называется сложной
функцией (или функцией
от функции),
а переменная u
– промежуточным
аргументом.
Функции, которые можно получить при помощи конечного числа алгебраических операций над основными элементарными функциями и операции взятия функции от функции называют элементарными функциями.
Примерами элементарных функций являются:
многочлен
где
– степень многочлена, а
– его коэффициенты, причем
,
рациональная
функция
,
сложные
функции
и т.п.
Рассмотренная выше функция signx не является элементарной.
§10. Предел функции
10.1. Предел функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки или в некоторых точках этой окрестности.
Говорят, что функция стремится к пределу
(
)
при
стремящемся к
(
),
если для любого сколь угодно малого
найдется такой
,
что для всех
,
отличных от
и удовлетворяющих неравенству
имеет место неравенство
.
Записывают следующим образом
.
Кратко это определение записывают, при помощи общепринятых обозначений, перечисленных в п. 8.1., следующим образом:
.
Геометрически это определение означает, что чем ближе значение аргумента функции х к х0, тем ближе значение функции у к А (какую бы маленькую мы ни выбрали -окрестность точки А, найдется такое , что для всех знасчений аргуимента из -окрестности точки х0 значение функции попадет в -окрестность точки А).
10.2. Односторонние пределы
В определении предела функции считается что любым способом. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятие односторонних пределов.
Число А называется пределом функции слева в точке , если для любого существует число такое, что при
,
выполняется неравенство
.
Предел слева записывают следующим
образом
или
.
Аналогично определяется предел функции
справа. Обозначается
или
.
Пределы функции слева и справа называют
односторонними
пределами.
10.3. Предел функции на бесконечности
Число A называется пределом функции
при
,
если для любого
наществует такое число
,
что при всех
удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
.
Записывают:
.
Кратко:
Если
,
то пишут
;
если
,
то
.
10.4. Бесконечно большие функции
Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) при , если
.
Записывают:
.
Иными словами, такая функция f(x) является неограниченной в окрестности точки х0.
Если
f(x)
– бесконечно большая при
и при этом принимает вблизи точки х0
только положительные значения, то пишут
;
если такая функция принимает только
отрицательные значения, то
.
Функция называется бесконечно большой функцией при , если
.
Записывают:
.
П
ример.
Рассмотрим функцию
,
представленную на рисунке.
Рис. 19
Здесь
;
;
;
;
;
;
;
.