9.3. Некоторые свойства функций
Функция
,
определяемая на множестве D
является четной,
если
выполняются условия
и
;
нечетной,
если
выполняются условия
и
.
График четной функции симметричен
относительно оси ординат, а график
нечетной функции симметричен относительно
начала координат.Функция определена на множестве D и пусть
.
Если для любых значений
:
,
то функция называется возрастающей
на множестве
;
,
то функция называется убывающей
на множестве
;
,
то функция называется неубывающей
на множестве
;
,
то функция называется невозрастающей
на множестве
.
Возрастающие, убывающие, неубывающие,
невозрастающие функции на
называются монотонными
на этом множестве, а возрастающие и
убывающие – строго
монотонными.
Интервалы, в которых функция монотонна
называются интервалами
монотонности.Функцию , определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число
,
что для всех
выполняется неравенство
.
График ограниченной функции лежит
между прямыми
и
.Функцию , определенную на множестве D, называют периодической на этом множестве, если существует такое число
,
что при каждом
значение
и
.
Число
называется периодом функции.
9.4. Обратная функция
Пусть
задана функция
с областью определения D
и множеством значений E.
Если каждому значению
соответствует единственное значение
,
то определена функция
с областью определения E
и множеством значений D.
Такая функция
называется обратной
к функции
.
Из
определения обратной функции вытекает,
что функция
имеет обратную тогда и только тогда,
когда каждому
соответствует единственное
и наоборот, то есть когда функция
задает взаимнооднозначное соответствие
между множествами
и
.
Тогда всякая строго монотонная функция
имеет обратную, при этом если функция
возрастает (убывает), то обратная функция
также возрастает (убывает).
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
9.5. Основные элементарные функции
Среди огромного числа функций в ходе развития математики была выделена небольшая совокупность сравнительно простых функций, особенно часто встречающихся в самых разнообразных приложениях математического анализа и поэтому подвергнутых наиболее подробному исследованию. Их называют основными элементарными функциями. К ним относят функции степенную, показательную и логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Степенная функция – это функция вида
,
где
.
Пусть
.
Тогда данная функция определена для
всех
.
Рис. 1
Рис. 2
Рис.
3
Пусть n – целое отрицательное число. В этом случае функция определена при всех
.
Рис. 4
Рис. 5
Пусть n – произвольное действительное число, тогда степенная функция будет определена при x > 0.
Рис. 6
|
Рис. 7 |
.
На рис. 7 представлена совокупность степенных функций при различных положительных значениях n.
Показательная функция – это функция вида
,
где
и
.
Она определена при всех x.
Рис. 8
|
|
Рис.
9
На рисунке 10 представлена совокупность показательных функции при различных значениях основания .
Рис. 10
Логарифмическая функция – функция вида
,
.
Она определена при
.
Напомним,
что, по определению логарифма,
,
так что логарифмическая функция является
обратной для показательной функции
.
Заметим,
что одним из наиболее часто встречающихся
и удобных является логарифм по основанию
е
– натуральный логарифм
;
кроме того, всегда можно выразить
.
Рис. 11
|
Рис. 12
|
Тригонометрические функции.
К
тригонометрическим относят следующие
функции:
,
,
.
.
Их графики представлены на рисунках
13-16.
Рис.13
Рис.14
Рис. 15
Рис. 16
Обратные тригонометрические функции.
К
обратным тригонометрическим функциям
относят:
- функция, обратная для функции sinx
на интервале ее монотонности:
;
,
;
,
;
,
.
Графики первых трех функций представлены ниже.
Рис. 17
|
Рис. 18
|
Рис. 19