1. Статические погрешности средств измерений.

В качестве примера рассмотрен расчет точностных характеристик вольтметра по результатам измерений с его помощью заданного напряжения. Расчет проведён в соответствии с рекомендациями, изложенными в учебных пособиях [1; 2].

Задача 1.1

При многократных измерениях напряжения В получены следующие показания исследуемого вольтметра: 60,12; 60,15; 60,16; 60,18; 60,20; 60,23; 60,25; 60,27; 60,28; 60,31 В. Предполагая, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, найти (с доверительной вероятностью Р=0,95) систематическую, случайную и суммарную погрешности вольтметра. Верхний предел измерения вольтметра В.

Оценка искомых величин проводится в следующей последовательности.

1. Рассчитывается среднее арифметическое значение рассматриваемого ряда измерений:

В,

где – среднее арифметическое значение;

n – число измерений (n=10);

– значение i-го измерения.

2. Определяется среднее квадратическое отклонение по формуле

В,

где – среднее квадратическое отклонение (СКО);

, и n – определены выше.

3. Выявляются возможные промахи методом 3 и методом Смирнова – Греббса (табличным методом).

Метод 3σ

Для реализации этого метода подсчитывается значение В, которое сравнивается с разностью между и .

,

где – предполагаемый промах ( );

– определено выше.

Поскольку , то В – не промах, и это значение следует оставить в ряду измерений.

Табличный метод

Для реализации табличного метода оцениваются значения:

;

(для Р=0,95 и n=10),

где – табличное значение, зависящее от принятой доверительной

вероятности P и числа измерений n (см. прилож.);

, и – определены выше.

Поскольку , то – не промах, и это значение следует оставить в ряду измерений.

4. Оценивается абсолютная систематическая погрешность вольтметра:

В,

где – систематическая погрешность вольтметра в рассматриваемой точке шкалы (диапазона измерения);

– рассматриваемая точка шкалы (диапазона измерения), значение напряжения в которой принимается за истинное значение измеряемой величины ( =60,00 В);

– определено выше.

5. Оценивается абсолютная случайная погрешность вольтметра:

₌

_где – _{случайная погрешность вольтметра в рассматриваемой точке шкалы (диапазоне измерения);}

κ – коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности Р и от закона распределения результатов измерений (для р=0,95 и нормального закона распределения результатов измерений к=1,96);

– определено выше.

6. Оценивается абсолютная суммарная погрешность вольтметра:

В;

В,

где – абсолютная суммарная погрешность вольтметра;

, – _{определены выше.}

_{7. Оценивается относительная суммарная погрешность вольтметра:}

;

,

где – относительная суммарная погрешность;

– определено выше ( =60,00 В).

8. Оценивается приведённая суммарная погрешность вольтметра:

;

,

где – приведённая суммарная погрешность;

– верхний предел шкалы или диапазона измерения

вольтметра ( =200 В).

9. Проводится округление полученных величин. После округления рассматриваемые величины принимают следующие значения:

;

;

;

, Р=0,95.

Следовательно, с доверительной вероятностью Р=0,95 суммарные погрешности (при измерении напряжения =60,00 В) составляют: абсолютная 0,3 В; относительная 0,6 %; приведённая 0,17 %. При этом результат измерения исследуемым вольтметром в выбранной точке шкалы (или диапазона измерения) может быть записан как (60,2 0,3) В. Отметим, что термин «шкала» применяется для отсчётного устройства стрелочных приборов, а термин «диапазон измерения» – для отсчётного устройства цифровых измерительных приборов. В приведённом примере не уточняется тип прибора (стрелочный прибор или цифровой) и, в силу этого, используются оба термина при характеристике рассматриваемых величин.

По результатам расчета относительной и приведённой погрешностей исследуемому вольтметру присваивается класс точности в соответствии с ГОСТ 8. 401-80 [16].

Завод-изготовитель присваивает прибору один класс точности (по или ). В учебных целях рассматриваемому вольтметру присвоено два класса точности.

По относительной погрешности рассматриваемый вольтметр соответствует классу точности .

По приведенной погрешности рассматриваемый вольтметр соответствует классу точности 0,2.

Для оценки погрешности погрешностей, доверительных границ и доверительных интервалов использованы следующие величины, полученные при решении рассматриваемой задачи:

; ; .

1. Погрешность среднего арифметического значения оценивается по формуле:

;

где – погрешность среднего арифметического значения;

t – коэффициент Стьюдента, зависящий от принятой доверительной

вероятности Р и числа измерений n (для Р=0,95 и n=10 t=2,26; см. прилож.);

,n – определены выше.

2. Доверительные границы среднего арифметического значения оцениваются по формулам:

;

;

где и – нижняя и верхняя доверительные границы среднего арифметического значения;

и – определены выше.

3. Доверительный интервал среднего арифметического значения оценивается по формуле

=60,2599-60,1701=0,0898 В.

4. Погрешность систематической погрешности численно равна погрешности арифметического среднего значения, т.е.

0,0449 В,

где – погрешность систематической погрешности.

5. Доверительные границы систематической погрешности оцениваются по формулам

=0,2150-0,0449=0,1701 В;

=0,2150+0,0449=0,2599 В;

где и – нижняя и верхняя доверительные границы систематической

погрешности;

и – определены выше.

6. Доверительный интервал систематической погрешности определяется по формуле

=0,2599-0,1701=0,0898 В;

где – доверительный интервал систематической погрешности;

и – определены выше.

7. Приближенное значение погрешности среднего квадратического

отклонения (СКО) оценивается по формуле

где – приближённое значение погрешности СКО;

и n – определены выше.

8. Уточнённые значения погрешностей среднего квадратического

отклонения (СКО) оцениваются по формулам

∆₁σ = (γ₁ – 1)σ =(0,69 – 1) ⋅ 0,0628= - 0,0195 В;

∆₂σ = (γ₂ – 1)σ =(1,83 – 1) ⋅ 0,0628= 0,0521 В;

где и – уточнённые погрешности СКО;

и – коэффициенты, зависящие от принятой доверительно вероятности Р и числа измерений n (для Р=0,95 и n=10 =0,69 и

=1,83, см. прилож.);

– определено выше.

9. Уточнённые доверительные границы среднего квадратического

отклонения (СКО) оцениваются по формулам

=0,0628-0,0195=0,0433 В;

=0,0628+0,0521=0,1149 В,

где и – уточнённые нижняя и верхняя доверительные границы СКО;

, , – определены выше.

10. Уточнённый доверительный интервал среднего квадратического отклонения (СКО) оценивается по формуле

;

где – уточнённое значение доверительного интервала СКО;

и – определены выше.

После округления найденных величин получены следующие их значения:

= 0,04 В; =60,10 В; =60,26 В; =0,09 В. = 0,04 В; =0,17 В; =0,267В; =0,09 В; = 0,01 В.

=-0,02 В; =+0,05 В;

=0,04 В; =0,11 В; =0,07 В.

В заключение напомним ещё раз основные положения.

При малом числе измерений появляются погрешности погрешностей, которые уменьшаются с ростом числа измерений. Приведённый пример позволяет количественно оценить погрешности погрешностей при n=10 (где n – число измерений).

Подсчёт погрешностей среднего квадратического отклонения (СКО) по приближенной формуле всегда даёт симметричные и несколько меньшие значения, чем значения, полученные по уточнённым формулам с использованием коэффициентов и (см. приведённый пример).

Погрешности СКО, найденные по уточнённым формулам, всегда асимметричны, причём отрицательная погрешность по абсолютной величине всегда меньше положительной погрешности.