19. Решить задачу Коши .
Решение типовых задач
Пример 1.
Определить вид частного решения
(неопределенных коэффициентов не
находить) уравнения
,
если
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Характеристическое уравнение
;
его корни
.
а) Правая часть вида
,
где
,
т.е.
и
.
Следовательно,
.
б) Правая часть вида
,
где
,
т.е.
и
.
Следовательно,
.
в) Правая часть вида
,
где
,
т.е.
и
.
Следовательно,
.
г) правая часть вида
,
где
;
;
,
,
.
Следовательно,
.
Пример 2.
Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Общее решение уравнения находится по
формуле (10.5). Характеристическое уравнение
;
его корни
.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения
.
Правая часть данного
уравнения вида
,
где
,
т.е.
и
.
Следовательно,
(см. табл.10.2). Подставляя
,
,
в данное уравнение, получим
,
.
Таким образом,
и общее решение уравнения
.
Тогда
.
Найдем
и
,
используя начальные условия.
Из
Итак, искомое частное решение
имеет вид
.
Пример 3.
Найти общее решение уравнения
.
Общее решение уравнения находится по
формуле (10.5). Характеристическое
уравнение:
;
его корни
.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения имеет вид
.
Правая часть данного
уравнения вида
,
где
;
;
,
,
корень характеристического уравнения.
Следовательно, подставляя
(
см. табл. 10.3),
,
в данное уравнение и
приравнивая коэффициенты в обеих частях
равенства при
получим
.
Общее решение данного уравнения имеет
вид
.
Ответы
4. 
.
5.
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. а) 
;
б)
;
в) 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
10.5. Численные методы решения дифференциальных уравнений: метод Эйлера, метод Рунге – Кутты
Основные понятия: численные методы решений дифференциальных уравнений [1, с. 425-428]
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной
,
.
Требуется найти решение на
отрезке
,
где
.
Разобьем отрезок
на
равных частей и получим последовательность
где
,
а
шаг интегрирования.
В методе Эйлера приближенные
значения
вычисляются
последовательно по формуле
. (10.6)
По методу Рунге – Кутты (см. комментарий с. 230) второго порядка точности приближенные значения вычисляются по формуле
,
где
.
(10.7)
Задания для выполнения лабораторной работы
Задача 1. Получить
численное решение дифференциального
уравнения
с начальным условием
на отрезке
методом Эйлера. Шаг интегрирования
принять равным
.
1.1.
,
на отрезке
.
1.2.
,
на отрезке
.
1.3.
,
на отрезке
.
1.4.
,
на отрезке
.
1.5.
,
на отрезке
.
1.6.
,
на отрезке
.
1.7.
,
на отрезке
.
1.8.
,
на отрезке
.
1.9.
,
на отрезке
.
1.10.
,
на отрезке
.
1.11.
,
на отрезке
.
1.12.
,
на отрезке
.
1.13.
,
на отрезке
.
1.14.
,
на отрезке
.
1.15.
на отрезке
.
1.16.
,
на отрезке
.
1.17.
,
на отрезке
.
1.18.
,
на отрезке
.
1.19.
,
на отрезке
.
1.20.
,
на отрезке
.
1.21.
,
на отрезке
.
1.22.
,
на отрезке
.
1.23.
,
на отрезке
.
1.24.
,
на отрезке
.
1.25.
,
на отрезке
.
1.26.
,
на отрезке
.
1.27.
,
на отрезке
.
1.28.
,
на отрезке
.
1.29.
,
на отрезке
.
1.30.
,
на отрезке
.
1.31.
,
на отрезке
.
1.32.
,
на отрезке
.
1.33.
,
на отрезке
.
1.34.
,
на отрезке
.
1.35.
,
на отрезке
.
Задача 2. Получить
численное решение дифференциального
уравнения
с начальным условием
на отрезке
методом Рунге – Кутты,
шаг интегрирования принять равным
.
Найти абсолютную
погрешность
и относительную погрешность
(в процентах) приближенного решения
(сравнить полученный приближенный
результат с точным решением при
)
(варианты заданий взяты из
).
2.1.
,
на отрезке
.
2.2.
,
на отрезке
.
2.3.
,
на отрезке
.
2.4.
,
на отрезке
.
2.5.
,
на отрезке
.
2.6.
,
на отрезке
.
2.7.
,
на отрезке
.
2.8.
,
на отрезке
.
2.9.
,
на отрезке
.
2.10.
,
на отрезке
.
2.11. , на отрезке .
2.12.
,
на отрезке
.
2.13.
,
на отрезке
.
2.14.
,
на отрезке
.
2.15.
,
на отрезке
.
2.16.
,
на отрезке
.
2.17.
при
на отрезке
.
2.18.
,
на отрезке
.
2.19.
,
на отрезке
.
2.20. , на отрезке .
2.21.
,
на отрезке
.
2.22.
,
на отрезке
.
2.23.
,
на отрезке
.
2.24.
,
на отрезке
.
2.25.
,
на отрезке
.
2.26.
,
на отрезке
.
2.27.
,
на отрезке
.
2.28.
,
на отрезке
.
2.29.
,
на отрезке
.
2.30.
,
на отрезке
.