10.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Основные понятия: линейное однородное и неоднородное уравнения, фундаментальная система решений, общее решение, специальная правая часть [1, с. 435-449].

1. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

, . (10.3)

Общее решение линейного однородного уравнения (10.3) всегда представляет линейную комбинацию двух частных решений , образующих фундаментальную систему решений, вид которых зависит от корней характеристического уравнения Общее решение уравнения (10.3) приведено в табл. 10.1, в которой корни характеристического уравнения имеют вид где

Таблица 10.1.

	Корни характеристического уравнения	Общее решение
>0
=0
<0

2. Общее решение линейного неоднородного уравнения ( )

(10.4)

имеет вид

(10.5)

где общее решение соответствующего однородного уравнения (10.3), частное решение уравнения (10.4).

I. Если правая часть уравнения (10.4) имеет специальный вид

где многочлен степени , заданное число, то частное решение выбирается в соответствии с табл. 10.2 (см. решение типовых задач, пример 2).

Таблица 10.2

Соотношение между числом и корнями характеристического уравнения	Вид частного решения	Вид многочлена с неизвестными коэффициентами при

II. Если правая часть уравнения (10.4) имеет специальный вид

где , заданные числа, то частное решение находят в в соответствии с табл. 10.3 (см. решение типовых задач, пример 3).

Табл.10.3.

Соотношение между числом и корнями характеристического уравнения	Вид частного решения ( и неизвестные коэффициенты)

Задачи А

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

а) ; б) ; в) ;

г) , д) .

2. Решить задачу Коши .

3. Указать вид частного решения неоднородного уравнения, не находя неопределенных коэффициентов:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Задачи Б

Найти общее решение дифференциальных уравнений:

4. . 5. . 6. .

Решить задачу Коши:

7. . 8. .

Домашнее задание

Найти общее решение дифференциальных уравнений:

9. а) , б) , в) .

10. . 11. .

12. . 13. .

14. Решить задачу Коши .

Дополнительные задачи

Найти общее решение дифференциальных уравнений:

15. . 16. .

17. . 18. .