1.3.5. Вращательное движение материальной точки

Различают два вида вращательного движения материальной точки:

– вращательное движение вокруг неподвижной оси – это движение материальной точки по окружности радиуса R, центр которой лежит на неподвижной относительно данной системы отсчета прямой (ось вращения), перпендикулярной плоскости, в которой лежит траектория точки (рис. 1.6а);

– вращательное движение около неподвижной точки – это движение материальной точки по поверхности сферы радиуса R, центр которой лежит в некоторой неподвижной относительно данной системы точке О (рис. 1.6б).

а)	б)	В этом случае в каждый момент времени материальная точка вращается вокруг так называемой мгновенной оси вра-щения, которая проходит через точку О и изменяет с течением времени свою ориентацию относительно осей координат системы отсчета.
Рис. 1.6

Для характеристики вращательного движения вводят угловые кинематические величины: угол поворота; угловую скорость; угловое ускорение.

Пусть материальная точка вращается по окружности радиуса R с центром в точке С (рис. 1.7). Положение материальной точки на окружности в произволь-

Рис.1.7

ный момент времени t можно охарактеризовать радиус-вектором , проведенным из некоторой точки О, лежащей на мгновенной оси вращения и выбранной в качестве точки отсчета. Изменение положения материальной точки за промежуток времени dt, то есть ее перемещение , связано с углом поворота d радиуса окружности , скрепленного с материальной точкой. Из рис. 1.7 видно, что , где , то есть . (1.26)

Этому соотношению можно придать векторную форму, если ввести вектор – вектор угла поворота, направление которого связано с направлением вращения материальной точки определенным правилом.

Условились для определения этой связи применять правило правого винта: вектор направлять по мгновенной оси вращения в ту сторону, куда будет двигаться винт с правой нарезкой, при вращении его головки в сторону вращения материальной точки (рис 1.7).

Теперь

. (1.27)

Здесь и ниже скобками [ ] обозначено векторное произведение векторов.

Следует отметить, что из-за условности выбора направления угла поворота свойства этого вектора (и ему подобных) существенным образом отличаются от обычных векторов. Поэтому их называют псевдовекторами или аксиальными векторами.

В частности последовательные бесконечно малые повороты, характеризуемые векторами и , при их сложении дают результирующий поворот , равный

,

то есть подчиняются обычному правилу сложения векторов. Для поворотов, характеризуемых конечными углами и , их геометрическая сумма не равна результирующему повороту , то есть

.

Более того, из наглядного примера (см. рис. 1.8) видно, что

.

y x	y x		x y
а)	б)		в)
y x		y x		y x
г)		д)		е)

Рис. 1.8

Скорость поворота характеризуется с помощью понятия угловой скорости в данный момент времени t (мгновенной угловой скорости):

. (1.28)

Вектор мгновенной угловой скорости ориентирован так же, как и ,

вдоль мгновенной оси вращения, и связан правилом правого винта с направлением вращения в данный момент времени. Поэтому является аксиальным вектором (рис. 1.9а,б). При вращении вокруг неподвижной оси вектор направлен вдоль этой оси. При вращении вокруг неподвижной точки изменяет

		свое направление вместе с изменением ориентации мгновенной оси. Если в процессе вращения угловая скорость является функцией времени, то для характеристики быстроты изменения как по величине, так и по направлению, вводят угловое ускорение: . (1.29) Направление вектора опреде-
а)	б)
Рис. 1.9

ляется направлением в данный момент времени. При вращении материальной точки вокруг неподвижной оси угловое ускорение направлено вдоль этой оси. П

y

y

x

x

y

y

ри этом , , , если .

Выводы: При вращении материальной точки ее движение может описываться с помощью угловых кинематических величин: угла поворота , угловой скорости и углового ускорения , которые являются аксиальными векторами. При вращении вокруг неподвижной оси , и направлены вдоль этой оси. При вращении вокруг неподвижной точки и направлены вдоль мгновенной оси вращения, а сонаправлен с приращением в данный момент времени.

Контрольные вопросы

1.9. Каков смысл вектора в соотношении (1.27), если ось вращения изменяет с течением времени свою ориентацию?

1.10. Охарактеризуйте вращательное движение материальной точки, соответствующее условиям: а) ; б) ; в) ; г) , .