
- •1. Кинематика
- •1.1. Основные вопросы механики
- •1.2. Основные физические модели и понятия механики
- •1.3. Кинематика материальной точки. Скорость и ускорение
- •1.3.1. Система отсчета
- •1.3.2. Радиус-вектор, вектор перемещения
- •1.3.3. Скорость материальной точки
- •1.3.4. Ускорение материальной точки
- •1.3.5. Вращательное движение материальной точки
- •1.3.6. Взаимосвязь между линейными и угловыми кинематическими величинами
- •1.4. Кинематическое уравнение движения Прямая и обратная задачи кинематики
- •1.5. Кинематика твердого тела
- •Ответы на контрольные вопросы
1.3.5. Вращательное движение материальной точки
Различают два вида вращательного движения материальной точки:
– вращательное движение вокруг неподвижной оси – это движение материальной точки по окружности радиуса R, центр которой лежит на неподвижной относительно данной системы отсчета прямой (ось вращения), перпендикулярной плоскости, в которой лежит траектория точки (рис. 1.6а);
– вращательное движение около неподвижной точки – это движение материальной точки по поверхности сферы радиуса R, центр которой лежит в некоторой неподвижной относительно данной системы точке О (рис. 1.6б).
а) |
б) |
В этом случае в каждый момент времени материальная точка вращается вокруг так называемой мгновенной оси вра-щения, которая проходит через точку О и изменяет с течением времени свою ориентацию относительно осей координат системы отсчета. |
Рис. 1.6 |
Для характеристики вращательного движения вводят угловые кинематические величины: угол поворота; угловую скорость; угловое ускорение.
Пусть материальная точка вращается по окружности радиуса R с центром в точке С (рис. 1.7). Положение материальной точки на окружности в произволь-
Рис.1.7
|
ный момент
времени t
можно охарактеризовать радиус-вектором
,
проведенным из некоторой точки О,
лежащей на мгновенной оси вращения
и выбранной в качестве точки отсчета.
Изменение положения материальной
точки за промежуток времени dt,
то есть ее перемещение
где
|
Этому соотношению
можно придать векторную форму, если
ввести вектор
– вектор угла поворота, направление
которого связано с направлением вращения
материальной точки определенным
правилом.
Условились для определения этой связи применять правило правого винта: вектор направлять по мгновенной оси вращения в ту сторону, куда будет двигаться винт с правой нарезкой, при вращении его головки в сторону вращения материальной точки (рис 1.7).
Теперь
.
(1.27)
Здесь и ниже скобками [ ] обозначено векторное произведение векторов.
Следует отметить, что из-за условности выбора направления угла поворота свойства этого вектора (и ему подобных) существенным образом отличаются от обычных векторов. Поэтому их называют псевдовекторами или аксиальными векторами.
В частности
последовательные бесконечно малые
повороты, характеризуемые векторами
и
,
при их сложении дают результирующий
поворот
,
равный
,
то есть подчиняются
обычному правилу сложения векторов.
Для поворотов, характеризуемых конечными
углами
и
,
их геометрическая сумма не равна
результирующему повороту
,
то есть
.
Более того, из наглядного примера (см. рис. 1.8) видно, что
.
y
x |
y
x |
x
y |
|||
а) |
б) |
в) |
|||
y
x |
y
x
|
y
x |
|
||
г) |
д) |
е) |
|
||
|
|
Рис. 1.8
Скорость поворота
характеризуется с помощью понятия
угловой
скорости
в данный момент времени t
(мгновенной угловой скорости):
.
(1.28)
Вектор мгновенной угловой скорости ориентирован так же, как и ,
вдоль мгновенной оси вращения, и связан правилом правого винта с направлением вращения в данный момент времени. Поэтому является аксиальным вектором (рис. 1.9а,б). При вращении вокруг неподвижной оси вектор направлен вдоль этой оси. При вращении вокруг неподвижной точки изменяет
|
|
свое направление вместе с изменением ориентации мгновенной оси. Если в процессе вращения угловая скорость является функцией времени, то для характеристики быстроты изменения как по величине, так и по направлению, вводят угловое ускорение:
Направление
вектора
|
а) |
б) |
|
Рис. 1.9 |
ляется направлением
y
y
x
x
y
y
в данный момент времени. При вращении
материальной точки вокруг неподвижной
оси угловое ускорение направлено вдоль
этой оси. П
,
,
,
если
.
Выводы: При вращении материальной точки ее движение может описываться с помощью угловых кинематических величин: угла поворота , угловой скорости и углового ускорения , которые являются аксиальными векторами. При вращении вокруг неподвижной оси , и направлены вдоль этой оси. При вращении вокруг неподвижной точки и направлены вдоль мгновенной оси вращения, а сонаправлен с приращением в данный момент времени.
Контрольные вопросы
1.9. Каков
смысл вектора
в соотношении (1.27), если ось вращения
изменяет с течением времени свою
ориентацию?
1.10. Охарактеризуйте
вращательное движение материальной
точки, соответствующее условиям: а)
;
б)
;
в)
;
г)
,
.